порядка

. Радиус сходимости ряда

обозначим

Метод рядов Тейлора решения задачи Коши (23), (24) заключается в построении таблицы приближенных значений

по формулам:

, (37)

где

- натуральные,

, а

удовлетворяют неравенствам

Для программной реализации метода рядов Тейлора необходимы алгоритмы нахождения коэффициентов Тейлора и автоматического выбора величины шага интегрирования.

Нахождение коэффициентов Тейлора

Рассмотрим квадратичную задачу Коши

, (38)

, (39)

где

- вещественные или комплексные постоянные, а

- вещественная или комплексная переменная.

Подставляя в (38) разложение Тейлора

, (40)

получаем:

(41)

Приводя подобные члены и приравнивая все коэффициенты полученного степенного ряда нулю, получаем искомые формулы:

;

, (42)

где

Аналогичные формулы легко вывести и для общего случая полиномиальной системы степени

Оценка погрешности и выбор шага

Рассмотрим полиномиальную задачу Коши:

, (43)

, (44)

где

, а максимальная степень полиномов

(степень системы (43)) равна

Введем обозначения:

(45)

и будем предполагать, что

Теорема.

Решение

задачи (43), (44) голоморфно в круге

и удовлетворяет там неравенствам:

, (46)

где

(47)

Используя эту теорему несложно построить алгоритм автоматического выбора шага в методе рядов Тейлора по заданной пользователем границе абсолютной (или относительной) погрешности.

1.4.3 Метод Рунге-Кутта

Этим методам посвящено много работ, и они хорошо изложены в много-численных учебниках (см., например, [2,3]).

2. Модели осциллирующих процессов в живой природе

2.1 Модель Лотки

2.1.1 Осциллирующие химические реакции

В некоторых химических реакциях концентрации реагентов осциллируют в следующем смысле. Соединение каких-то начальных веществ приводит к их химическому взаимодействию, в результате чего образуются новые вещества, которые также начинают взаимодействовать с другими реагента-ми. В течении всех этих реакций концентрации реагентов колеблются и, на-конец, все химические преобразования завершаются и в качестве результата остаются какие-то определенные вещества, которые уже не реагируют между собой. Первая математическая модель осциллирующих химических реакций была предложена в работе Лотки [7].

Рассматривается математическая модель взаимодействия на молекулярном уровне веществ

на основе следующих предположений:

1. При взаимодействии с молекулой вещества

молекула вещества

превращается в молекулу вещества

. Это описывают в форме молекулярной ре-акции:

(1)

Такую реакцию относят к классу автокаталитических, так как наличие вещества

обеспечивает превращение другого вещества в

2. При взаимодействии с молекулой вещества

молекула вещества

пре-вращается в молекулу вещества

, то есть происходит автокаталитическая молекулярная реакция:

(2)

3. Вещество

в то же время необратимо распадается, превращаясь в вещество

, то есть происходит молекулярная реакция

(3)

4. Скорости протекания реакций (1), (2), (3) пропорциональны концентрациям веществ в левых частях этих реакций, то есть равны соответственно:

, (4)

где символами

обозначены концентрации веществ

со-ответственно, а коэффициенты

- положительные числа.

5. Скорость изменения концентрации каждого вещества равна сумме скоростей изменения концентраций этого вещества во всех реакциях, в которых оно участвует.

Из условий 1-5 следуют равенства:

, (5)

где

- концентрация вещества

. Это система ОДУ Лотки.

2.1.2 Осцилляция популяций в системе «хищник-жертва»

Первая экологическая модель типа «хищник – жертва» была предложена в книге Лотки [8]. Она основана на тех же уравнениях (5).

Идентификация параметров осциллирующих процессов в живой природе моделируемых дифференциальными (стр. 3 из 5)

Рассмотрим квадратичную задачу Коши

Подставляя в (38) разложение Тейлора