Пусть на острове живут жертвы
(зайцы) и хищники (волки). Рассматривается математическая модель изменения величин (растительная пища для зайцев), , , (умершие волки) на основе следующих предположений:1. Наличие зайцев
и еды для них приводит к увеличению количества зайцев, что можно записать формулой: (6)2. Наличие волков
и еды для них приводит к увеличению количества волков: (7)3. Волки умирают от болезней или старости:
(8)4. Скорость изменения количества зайцев по формуле (6), скорость изменения количества волков по формуле (7) и скорость увеличения количеств умерших волков по формуле (8) равны соответственно:
, , , (9)где символами
, , обозначены количества растительной пищи, зайцев и волков, а - положительные коэффициенты.5. Скорость изменения каждого из количеств
(количество умерших волков) равна сумме скоростей изменения этих количеств в каждом из процессов (6), (7), (8), в котором соответствующая величина участвует.Из условий 1-5 следуют уравнения Лотки (5), только символы имеют другой смысл.
Более общие модели поведения
хищников и жертв в различных эко-логических ситуациях были предложены в лекциях Вольтерры [1]. В связи с этим, уравнения Лотки (5) называют часто уравнениями Лотки-Вольтерра.И все же большая часть работ по этой тематике посвящена даже более упрощенному по сравнению с моделью Лотки двумерному случаю, так как это позволяет применять методы фазовой плоскости для динамических систем.
Сведение модели (5) к двумерной основано на предположении, что вели-чина
постоянна. В случае модели осциллирующих химических реакций это означает, что вещества достаточно много, а в случае модели «хищник - жертва» это означает, что еды у зайцев достаточно много. Из этого предполо-жения следует, что . Так как величина входит только в послед-нее из уравнений (5), то второе и третье уравнения отделяются: , , (10)где
.2.2 Другие модели
Они излагаются в многочисленных статьях и книгах. Кроме уже предложенных ранее, дадим здесь ссылку еще на одну книгу [6].
3. Идентификация параметров модели Лотки
3.1 Дифференциальные уравнения
Задачу Коши для уравнений Лотки (5) п.2 запишем, используя более стан-дартные математические обозначения:
, , (1) , , , (2)Задача Коши (17), (18) п.1 будет следующей:
, , , , , , , , , , , , (3) , , (4)Как видим, задача Коши (1), (2), (3), (4) полиномиальная, и для ее численного интегрирования можно применять метод рядов Тейлора.
3.2 Постановки задачи идентификации и функционалы МНК
Для конкретных биологических или иных моделей проводят реальные эксперименты по определению величин
, от которых зависят функционалы типа (20) п.1.3. Каждый реальный эксперимент имеет и свои возможности (часто весьма ограниченные) и свою цену (возможно высокую) определения каждой величины .Естественно поэтому использовать различные функционалы, зависящие от того или иного набора величин
. Мы рассмотрим три функционала. Пер-вые два из них ориентированы на различные типы экспериментов с весьма ограниченными возможностями, а третий является их обобщением.В эксперименте первого типа, при одном и том же начальном данном
измеряются значения (5)одной из переменных
в различные моменты , .В эксперименте второго типа, при начальных данных
, , из-меряются значения , (6)В эксперименте третьего типа, при начальных данных
, , из-меряются значения (7) величин , в моменты времени , , .Соответствующие функционалы равны:
, (8)