Идентификация параметров осциллирующих процессов в живой природе моделируемых дифференциальными (стр. 1 из 5)

Санкт-Петербургский Государственный Университет

Реферат

Идентификация параметров осциллирующих процессов в живой природе, моделируемых дифференциальными уравнениями

Выполнила студентка 312гр.

Варламова А.А.

Проверил Токин И.Б

Санкт-Петербург

2007

Оглавление

1. Идентификация параметров в системах описываемых ОДУ

1.1 Градиентные уравнения

1.2 Уравнения в вариациях

1.3 Функционалы метода наименьших квадратов

1.4 Численное решение градиентных уравнений

1.4.1 Полиномиальные системы

1.4.2 Метод рядов Тейлора

1.4.3 Метод Рунге-Кутта

2. Модели осциллирующих процессов в живой природе

2.1 Модель Лотки

2.1.1 Осциллирующие химические реакции

2.1.2 Осцилляция популяций в системе “хищник-жертва”

2.2 Другие модели

3. Идентификация параметров модели Лотки

3.1 Дифференциальные уравнения

3.2 Постановки задачи идентификации и функционалы МНК

3.3 Как ускорить вычисления

3.4 Численный эксперимент

4. О других методах идентификации

Литература

1. Идентификация параметров в системах, описываемых ОДУ

1.1 Градиентные уравнения

Градиентные уравнения возникают в связи с задачей нахождения экстремумов функций многих аргументов. Важно, что эти аргументы сами могут зависеть от решений каких-то уравнений - численных, дифференциальных и иных. Мы будем использовать их для минимизации функций аргументов, за-висящих от решений обыкновенных дифференциальных уравнений.

Рассмотрим вещественнозначную функцию

аргумента , и пусть и . Тогда величина

(1)

то есть производная функции

по направлению характеризует скорость изменения при изменении в направлении вектора .

Из формулы (1) получаем:

(2)

где

- градиент функции , а это дает:

(3)

(4)

(5)

Таким образом, вектор

является направлением наискорейшего рос-та функции в точке , а вектор - это направление наискорейшего ее убывания в этой точке.

Градиентной кривой функции

называют кривую , , касательное направление к которой в каждой точке противоположно направлению вектора градиента , то есть сов-падает с направлением наискорейшего убывания .

Это означает, что

удовлетворяет дифференциальному уравнению:

(6)

или в координатной форме:

(7)

К уравнениям (6) или (7) добавляем начальные условия:

(8)

или в координатной форме:

(9)

Решение задачи Коши (6),(8) (или (7),(9)) определяет градиентную кривую проходящую через точку

. Будем рассматривать это решение как век-тор-функцию аргументов и .

Зададимся теперь целью найти точку

локального минимума неотрицательной функции , если она существует и достаточно близка к . Если за начальное приближение для взять , то движение вдоль градиентной кривой, проходящей через (то есть движение вдоль траектории решения ) можно считать идеальным путем к точке .

Если решение задачи (6),(8) существует при

, то при любом та-ком получаем, что:

при (11)

при (12)

и мы вправе ожидать, что

(13)

Метод градиентных уравнений нахождения локального минимума функции

заключается в численном интегрировании задачи Коши (6),(8) вдоль оси до достижения точки , достаточно близкой к .

1.2 Уравнения в вариациях

Рассмотрим задачу Коши:

(14)

(15)

где

- параметры. В дальнейшем мы рассмотрим функционалы, зависящие от параметров через решение задачи Коши (14),(15). Тогда градиентные уравнения будут зависеть от производных по решения задачи (14),(15), и мы должны уметь их вычислять. Дифференцируя уравнения (14), (15) по получаем, что функции

(16)

удовлетворяют следующей задаче Коши:

(17)

(18)

Уравнения (17) относительно производных (16) называют уравнениями в вариациях для уравнений (14).

1.3 Функционалы метода наименьших квадратов

Мы не можем рассмотреть здесь все многообразие функционалов метода наименьших квадратов и ограничимся одним достаточно общим функционалом. Он соответствует следующей задаче: модель некоторого процесса описывается задачей Коши (14),(15) (такие модели, в частности, достаточно распространены в биологической кинетике), даны измерения

, (19)

то есть даны

приближений для значений величин в моменты времени , и требуется найти параметры на основе заданного начального приближения .