Математика 10 класс Бевз стандарт (стр. 2 из 8)
Ірраціональ ни ми на зи ва ють чис ла, які не мож на ви ра зи ти у виг ляді відно шен ня двох цілих чи сел. Усі раціональні й ір ра ціональні чис ла ра зом на зи ва ють дійсни ми чис ла ми. Кож но му дійсно му чис лу на ко ор ди натній прямій відповідає єди на точк а і кожній точці коо рдин атн ої прям ої – єдин е дійсне числ о.
Уявіть, що на ко ор ди натній пря мій поз на че но дві довільні точ ки А і В з раціональ ни ми ко ор ди на та ми а і b (мал. 3). Скіль ки на відрізку АВ існує то чок з раціональ ни ми коор ди на та ми? Безліч. А то чок з ірра ціональ ни ми ко ор ди на та ми? Знач но біль ше, ніж з раціональн им и!
Множ ин и нат ур альн их, цілих, раціональн их, дійсних і комплек с них чи сел поз на ча ють відпо відно літерами N, Z, Q, R, С. Кожн а із цих множ ин нескінченн а і є підмнож ин ою (част ин ою) нас туп ної мно жи ни (мал. 4). То му будь9яке на ту раль не чис ло можн а вваж ат и водн оч ас і цілим, і раціональн им, і дійсним, і навіть компл ек сн им (про комплексні числа читайте на с. 78).
Мно жи ну R дійсних чи сел та кож на зи ва ють чис ло вою пря мою, а її еле мен ти (чис ла) – точ ка ми чис ло вої пря мої.
Мал. 3 Мал. 4
ПІФА ГОР СА МОСЬ КИЙ
(бл. 580–500 рр. до н. е.)
Давньо гр ецьк ий мат ем ат ик, філос оф. Орг а- нізув ав свою школ у (піфаг ор ейськ ий сою з), яка бу ла вод но час і релігійним братством, і політичн ою партією. Досліджув ав пробл ем и те орії чи сел, ге о метрії, гар монії, аст ро номії. Вва жав, що все виз на ча ють чис ла. Досліджу вав різні ви ди чи сел: парні, три кутні, квад ратні, дос ко налі, дружні то що. Ви я вив, що сто ро на квад ра та і йо го діаго наль не ма ють спіль ної міри.Дійсні чис ла мож на порівню ва ти.
З двох дод атн их дійсних чис ел більш е те, у яког о ціла част и- на більш а. Якщ о цілі част ин и рівні, більш им вваж аєтьс я те чис ло, у яко го пер ший з не од на ко вих де сят ко вих знаків біль ший, а всі по пе редні од на кові.
Прикл ад и. 1,4148... > 1,4139... ; –1,4162... < –1,4139... ; –0,0674... < 0,00176... .
Розг ля не мо де які влас ти вості мно жи ни дійсних чи сел. Мно жи на дійсних чи сел R нескінчен на, не містить ні най мен шо го, ні найбіль шо го чис ла. Мно жи ни N, Z і Q є її підмно жи на ми. Як і множ ин а Q, множ ин а дійсних чис ел скрізь щіль на, тобт о для будь9яких двох різних дійсних чис ел завжд и можн а назв ат и так е третє дійсне числ о, яке більш е за одн е з дан их, але менш е за друг е. Це випл ив ає з тог о, що кол и a < b, то
ПЕРЕВІРТЕ СЕБЕ
1. Як поз на ча ють на ту ральні чис ла? На ведіть прик ла ди.
2. На ведіть прик лад не де сят ко вої сис те ми чис лен ня.
3. Які ви знаєте наз ви для ве ли ких чи сел? За пишіть кіль ка ве ли ких чис ел та назвіть їх.
4. Назвіть най мен ше на ту раль не чис ло. Чи існує найбіль ше на ту раль не чис ло?
5. Які числ а наз ив аю ть цілим и? Як позн ач аєтьс я множ ин а цілих чис ел?
6. Як на зи ва ють ся цілі до датні чис ла?
7. Назвіть ціле числ о, яке більш е від найбільш ог о цілого від’ємног о чис ла, але мен ше від най мен шо го до дат но го ціло го чис ла.
8. Сфор му люй те оз на чен ня раціональ но го чис ла. Як поз на чаєть ся мно жи на раціональ них чи сел?
Відповідь. 4 століття.
За у ва жен ня. На трад иційній осі час у відсутні нульо в ий вік і нуль о вий рік, то му во на відрізняєть ся від ма те ма тич ної чис ло вої осі. І якщ о одн а подія відбул ася в m9му році до н. e., а друг а – в n9му році н. e., то між ци ми подіями пройш ло не m + n, а m + n – 1 років.2. До ведіть, що між будь9яки ми дво ма раціональ ни ми чис ла ми а і b на числ овій прямій існує безліч раціональн их чис ел.
Розв’язанн я. Не хай а < b. Тоді 2а < а + b і а + b < 2b, звідси Якщ о а і b раціональні, то числ о 
також 
раціональн е. Позн ач ивш и йог о літерою m, так сам о пер екон у9 ємося, що числ о так ож раціональн е і т. д.3. По дай те у виг ляді де сят ко во го дро бу:
Розв’язанн я. Щоб пе рет во ри ти зви чай ний дріб у де сят ко вий, потрібно чи сель ник да но го дро бу поділи ти на йо го зна мен ник. Маємо: 
Відповідь. а) 1,125; б) 0, 363636...; в) 1,1666... .
4. Більш е чи менш е від мілья рд а числ о 230?
2. Яке з тверджень правильне:
а) кожне натуральне число є дійсним;
б) кожне ціле число є дійсним;
в) кожне раціональне число є дійсним;
г) кожне ірраціональне число є дійсним;
ґ) не кожне дійсне число є раціональним;
д) не кожне дійсне число є ірраціональним?
3. Укажіть правильні твердження:
а) 2π – число дійсне; б) –π – число ірраціональне;
в) 1 + π – число ірраціональне; г) π : 2π – число раціональне.
4. Чи правильні схеми на малюнках 6 і 7?
5. Які із записів правильні?
а) –3 ∈ N; б) 0 ∈ R; в) 0,5 ∈ Z; г)
ґ) –7 ∈ Q; д)
е) 
є) 0,333 ∈ Q.6. Чи правильні твердження:
а) будь9яке натуральне число є раціональним;
б) будь9яке натуральне число є дійсним;
в) будь9яке ціле число є натуральним;
г) будь9яке раціональне число є цілим;
ґ) будь9яке ірраціональне число є дійсним?
7. Для будь9яких дійсних чисел а, b, с правильні рівності а + b = b + а, а + (b + с) = (а + b) + с, аb = bа, а(bс) = (аb)с, (а + b)с = ас + bс.
Які закони дій виражають ці рівності?
8. На скільки число 3 більше від –2? А від 2?
9.Назвіть кілька раціональних чисел. Чи є раціональними чис9 ла 5; –3;
0; 2,01?10. Назвіть кілька дійсних чисел, які не є раціональ ними. Як називаються такі числа?
À
11. Запишіть число, яке має 38 мільярдів, 7 тисяч і 5 один иць.
12. Скільки хвилин пройшло від початку нашої ери до сьогодні?
13. Серце здорової людини робить у середньому 70 скорочень за хвилину. Скільки разів воно скорочується протягом 70 років?
14. Обчисліть:
а) 432 ⋅ (567 – 202) + 1001 : 13 + 28;
б) (43 ⋅ 19 – 26 928 : 33) ⋅ (16 112 : 53 – 304).
15. Знайдіть суму всіх натуральних чисел, менших від 100.
16. Розгляньте рівності. Чи правильні вони? Які законо мір ності ви помітили? Спробуйте продовжити записи.
а) 1 + 9 ⋅ 0 = 1, б) 1 + 8 ⋅ 1 = 9,
2 + 9 ⋅ 1 = 11, 2 + 8 ⋅ 12 = 98,
3 + 9 ⋅ 12 = 111; 3 + 8 ⋅ 123 = 987.
17. Запишіть римськими цифрами число:
а) 47; б) 109; в) 1999; г) 2009.
18. Подайте у вигляді звичайного дробу числа:
24. З поданих нижче чисел випишіть: а) цілі; б) іррац іон альні.
Á27. Числа 10 111, 1 101 110, 10 000 000 записано у двійковій системі. Запишіть їх у десятковій системі числення.
28. Спробуйте знайти суму й різницю чисел 1 011 101 і 110100, записаних у двійковій системі числення.
29. Уявіть, що якась жінка М на початку нашої ери наро- дила двох дочок, кожна з яких до 33 років народила також не менше двох дочок, а кожна з них – також не менше двох дочок і т. д. Скільки нащадків жінки М жило б за таких умов у наші дні? Чи могло б таке бути?
30. Задумайте будь9яке трицифрове число. Допишіть до ньо- го таке саме, щоб утворилося шестицифрове число. Поділіть це шестицифрове число на 13, знайдену частку – на 11, а нову частку – на задумане трицифрове число. Я знаю, яке число ви одержали в результаті. На основі чого я безпомилково можу вгадати результат?
31. Поет Віргілій народився в 70 р. до н. е. У якому році тре- ба було відзначати 20009річчя з дня його народження?
32. За візантійською хронологією від створення світу до Різдва Христового пройшло 5508 років. У літописі зазначає ться, що якась подія відбулася 7168 року. Про який рік ідеться?
33. Видатний український математик Михайло Пилипович Кравчук народився 27 вересня 1892 року, а помер 9 березня 1942 року. Скільки років прожив наш співвітчизник? Скільки часу пройшло від дня його народження дотепер?