Математика 10 класс Бевз стандарт (стр. 3 из 8)
34. З’ясуйте роки життя видатних українських математиків М.В. Остроградського, В.Я. Буняковського, Г.Ф. Вороного і за цими даними складіть і розв’яжіть задачі.
36. Один учень говорить, що число не, а другий, що раціональне. Хто з них має рацію?37. Чи правильно, що сума двох раціональних чисел є число раціональне? А чи завжди сума двох ірраціональних чисел є число ірраціональне?
38. Чи правильно, що сума, різниця, добуток і частка двох дійсних чисел – числа дійсні?
39. Чи може бути раціональним числом:
а) сума ірраціональних чисел;
б) різниця ірраціональних чисел;
в) добуток ірраціональних чисел;
г) степінь ірраціонального числа;
ґ) частка двох ірраціональних чисел?
Відповідь обґрунтуйте.
41. Розв’яжіть рівняння:
а) х2 – 7х + 6 = 0; б) х2 – 4х – 21 = 0.
42. Спростіть вираз:
а) (х – 5)(2х + 3) + 7х; б) (3а – 2)(а + 4) – 3а2.
§ 2. Обчислення
Як ви вже знаєте, числа можна записувати в різних видах. Відповідно й обчислення можна здійснювати по9різному. Якщо дані числа раціональні, то дії над ними можна виконувати в звичайних або десяткових дробах – усно, письмово чи за до по мо гою калькуляторів. Якщо серед даних чисел є й ірраціо нальні, то обчислення можна вести у вигляді перетворень ірраціо наль них виразів або за допомогою десяткових наближень.
Для додавання і множення дійсних чисел а, b, с справ джу ються такі закони:
а + b = b + а – переставний закон додавання; (а + b) + с = а + (b + с) – сполучний закон додаванн я; а ⋅ b = b ⋅ а – переставний закон множення;
(а ⋅ b) ⋅ с = а ⋅ (b ⋅ с) – сполучний закон множення;
(а + b) ⋅ с = а ⋅ с + b ⋅ с – розподільний закон множ ення.
ОБЧИСЛЕННЯ
Віднімання означується як дія, обернена додаванню, ділен- ня – як дія, обернена множенню.
У множині раціональних чисел Q завжди виконуються дії додавання, віднімання, множення і ділення (за винятк ом ділення на 0). Виконуваністю дії ділення множина Q істотно відрізняється від множини цілих чисел Z, у якій ця дія вико- нується не завжди.
На практиці, розв’язуючи прикладні задачі, обчислення ви конують не з абстрактними числами, а з числами, які вираж аю ть значення конкретних величин (маси, відстані, часу, швидк ості, площі, об’єму тощо). Існують різні одиниці вимірюв ання цих та інших величин. Для кількісної характерис тики однієї ве личини можна викор ис товувати різні одиниці вимір ювання. Наприклад, у метричній системі довж ин у вимір юють у кіло- мет рах, метрах, санти мет рах, міліметрах. Щоб порівнювати і вик он увати дії над значеннями величин, пот рібно вміти пере- творювати одні одиниці виміру на інші. Для цього корис туються формулами або спеціальними таб ли цями. Наприклад:
1га = 100 ар = 10 000 м2;
1 л = 1 дм3 = 1000 см3 = 0,001 м3.
Розв’язуючи прикладні задачі, переважно мають справу не з точними, а з наближеними значеннями величин. Щоб мати найменшу похибку в таких розрахунках, слід дотримуватися такого правила округлення.
Якщо число округлюють до деякого розряду, то всі наступні за цим розрядом цифри відкидають. Якщо перша з відкинутих цифр 0, 1, 2, 3 або 4 (5, 6, 7, 8 або 9), то останню цифру, що залишається, не змінюють (збільшують на 1).
Розв’язуючи прикладні задачі, ірраціональні числа звич айн о округлюють, відкидаючи їх нескінченні «хвости» дес ятков их зна- ків. Наприклад, якщо треба знайти значення суми чисел π і з точністю до тисячних, пишуть:Аналогічно можна знайти наближене значення добутку даних дійсних чисел:
Тепер науковцям часто доводиться виконувати обчислення над числами, записаними в стандартному вигляді.
Запис числа у вигляді а ⋅ 10n, де 1 а < 10, n – ціле, на зи вають стандартним виглядом числа. Число n у такому записі називають порядком даного числа.
Запишемо в стандартному вигляді числа, якими вира жа ються маси Землі, Місяця і маленької мурашки.
5 980 000 000 000 000 000 000 т = 5,98 ⋅ 1021 т,
73 500 000 000 000 000 000 т = 7,35 ⋅ 1019 т, 0,0000015 кг = 1,5 ⋅ 10–6 кг.
Числа, записані в стандартному ви гля ді, можна додавати, від ні мати, множити і ділити. Наприклад, якщо а = 4,2 ⋅ 105 і b = 1,5 ⋅ 105, то а + b = 4,2 ⋅ 105 + 1,5 ⋅ 105 = (4,2 + 1,5) ⋅ 105 = 5,7 ⋅ 105; а – b = 4,2 ⋅ 105 – 1,5 ⋅ 105 = (4,2 – 1,5) ⋅ 105 = 2,7 ⋅ 105; а ⋅ b = 4,2 ⋅ 105 ⋅ 1,5 ⋅ 105 = (4,2 ⋅ 1,5) ⋅ 105 ⋅ 105 = 6,3 ⋅ 1010; а : b = (4,2 ⋅ 105) : (1,5 ⋅ 105) = 4,2 : 1,5 = 2,8.
В останньому прикладі застосовано основну властивість відношення.
Питання про обчислення в математиці здавна було одним з найважливіших, а в окремі періоди – і найважчим. Відомий вчений середньовіччя Беда Достойний писав: «У світі є чимало важких речей, але немає нічого важчого за чотири дії арифм е- тики». Оскільки теперішніх алгоритмів дій навіть над натуральними числами тоді люди не знали, одні рахували, користуючися ква солинами, кісточками слив чи ка мінцями, інші – «на лі ніях». На малюнку 8, узятому з книжки ХVІ ст., муза Арифметика спо сте рігає, як ді ють два обчислювачі: один на абаці, другий – користую чись пером.Коли з’явились арифмометри, стали і їх використовувати. З вин ай- денням ЕОМ і особливо мікрокаль куляторів навіть найскладніші об- числення стали доступні багатьом.
Сучасні комп’ютерні технології дають змогу автоматизувати процес обчислення. Доступною і простою для виконання різного роду обчисл ень є
Мал. 8 програма Excel, якою оснащено су часні комп’ютери.
ПЕРЕВІРТЕ СЕБЕ
1. Які арифметичні дії вам відомі?
2. Які дії завжди можливі в множині натуральних чисел? А в множи- нах Z, Q, R?
3. Які ви знаєте закони дій? Сформулюйте їх.
4. Чому не можна ділити на 0?
5. Що ви розумієте під сумою двох ірраціональних чисел? А під їх добутком?
Р о з в ’ я з а н н я. Перетворимо звичайні дроби в десяткові, виконаємо від по від ні дії в чисельнику і знаменнику, а потім поділимо чисельн ик на знаменник. Маємо: 
2. Рекомендовані розміри футбольного поля 115 × 75 ярдів. Якою буде площа такого поля у м2?
Р о з в ’ я з а н н я. Ярд (англ. yard) – британська одиниця ви мі рювання відстані.1 ярд = 3 фути = 36 дюймів = 0,9144 м,
115 ярдів = 115 ⋅ 0,9144 = 105,156 ≈ 105 (м), 75 ярдів = 75 ⋅ 0,9144 = 68,58 ≈ 69 (м).
Площа футбольного поля 105 ⋅ 69 ≈ 7245 (м2).
3. На фарбування 7,5 м2 підлоги потрібно 0,75 кг фарби. Скільки фарби потрібно, щоб пофарбувати підлогу, розміри якої 3,2 м і 4,5 м?
Р о з в ’ я з а н н я. Площа підлоги, яку потрібно пофарбувати, 3,2 ⋅ 4,5 = 14,4 (м2). Маса фарби пропорційна площі підлоги, тому маємо пропорцію 7,5 м2 : 14,4 м2 = 0,75 : х. Звідси х = 1,44 кг. 
| Обчисліть (43, 44). | |
| 43. а) 23,5 ⋅ 10, б) 47,96 ⋅ 100, | в) 12,077 ⋅ 1000, |
| 0,08 ⋅ 10; 10 005 : 100; | 0,0036 ⋅ 1000. |
| 44. а) 345 ⋅ 0,1, б) 29,5 ⋅ 0,01, | в) 345,8 ⋅ 0,001, |
| 2,3 ⋅ 0,1; 3,7 ⋅ 0,01; | 67,981 : 0,001. |
45. Знайдіть значення виразу зручним способом:
а) 3,72 ⋅ 2,41 – 2,72 ⋅ 2,41; б) 2,252 – 0,252;
в) 5, 27 ⋅ 1,45 + 4,73 ⋅ 1,45; г) 0,04 – 10,22.
46. Назвіть числа, позначені крапками:
| 1 м = ... см; | 1 м = ... дм; 1 см = ... мм; |
| 1 м2 = ... дм2; | 1 м2 = ... см2; 1 дм2 = ... см2; |
| 1 т = ... ц; | 1 ц = ... кг; 1 кг = ... г; |
| 1 год = ... хв; | 1 хв = ... с; 1 год = ... с. |
47. Знайдіть суму всіх цілих чисел:
а) від –10 до 10; б) від –30 до 32; в) від 28 до 32.
48. На скільки сума чисел 4,35 і 2,3 більша за їх різницю?
À
49. Обчисліть зручним способом:
а) 24,1 ⋅ 1,4 + 24,1 ⋅ 1,01 – 24,1 ⋅ 1,41;
б) 1,3 ⋅ 37 + 1,3 ⋅ 63 + 2,3 ⋅ 74 + 2,3 ⋅ 26. Виконайте ділення (50–51).
50. а) 250 кг : 50 кг; б) 6 ц : 75 кг;
в) 8 грн. : 40 к.; г) 7 грн. 20 к. : 80 к.
51. а) 8 м : 40 см; б) 3 м 20 см : 80 см;
в) 3 год : 45 хв; г) 5 год 20 хв : 16 хв.
52. Знайдіть невідомий член пропорції: