Математика 10 класс Бевз стандарт (стр. 4 из 8)

53. Поділіть число 600 на частини, пропорційні числам 2, 5 і 8.

54. Знайдіть середнє арифметичне і середнє геометричне чи- сел 2 і 18.

55. Знайдіть суму, різницю, добуток і частку чисел 4,2 і

56. Продовжте обчислення, подані нижче.

57.

66. Автомобіль їхав протягом а год зі швидкістю 72 км/год і b год зі швидкістю 84 км/год. Скільки кілометрів він проїхав?

Обчисліть, якщо:

а) а = 3 і b = 2,5; б) а = 1,3 і b = 3,5; в)

67. Відстань від Сонця до Землі дорівнює 1,5 ⋅ 10⁸ км. За який час світло проходить цей шлях, якщо швидкість світла дорів нює 3 ⋅ 10⁵ км/год?

68. Для фарбування підлоги площею 12,5 × 4,2 м² витрачено 5,78 кг фарби. Скільки потрібно фарби для фарбування підлоги в кімнаті площею 5,2 × 4,6 м²?

69. Масу коня можна визначити за формулою так: маса (кг) = = обхват грудної клітки (см) × 6 – 620. Знайдіть масу коня, обх ват грудної клітки якого наближено дорівнює: а) 180 см; б) 200 см; в) 220 см.

70.Масу коня можна визначити за іншою формулою: маса (кг) = = обхват грудної клітки (см) × K, де K = 2,7 (для легких коней), K = 3,1 (для середніх) і K = 3,5 (для великих коней). Обчисліть масу коня, обхват грудної клітки якого наближено дорівнює: а) 180 см; б) 200 см; в) 220 см. Порівняйте результати з отри- маними в попередній задачі.

71. Циркова арена у формі круга з’явилась у Лондоні в кінці XVIII ст. Її діаметр – 42 фути – було обрано таким чином, щоб для вершника, який скаче на коні, створ ювалася оптимальна відцентрова сила. Знайдіть площу циркової арени (у м²) і дов- жину її кола (у м). Результати округліть до десятих.

Знайдіть значення виразу зручним способом (72–75).

74. а) 7⁵⁰ ⋅ 5⁵⁰ – (35²⁵ – 1)(35²⁵ + 1);

б) 8³⁰ ⋅ 9³⁰ + (1 – 72¹⁵)(1 + 72¹⁵).

75. а) (32³² – 2)(32³² + 2) – 8⁶⁴ ⋅ 4⁶⁴;

б) (3 + 54⁸)(3 – 54⁸) + 6¹⁶ ⋅ 9¹⁶.

76. Порівняйте значення величин:

а) 5 км/год і 5 м/с; б) 1250 хв і 25 год;

в) 4 дюйми і 10 см; г) 500 г і 1 фунт.

Обчисліть (77–79).

78.

79.

83. В основі басейну для водного поло – прямок утн ик з роз- мірами 25 м і 15 м. Яку найменшу кількість літрів води має містити басейн, якщо відомо, що мінімальна глибина такого басейну має бути 1,8 м?

84. Ділянка електричного кола складається з трьох послі- довно з’єднаних резисторів, які мають опори R₁ ≈ 3,869 Ом, R₂ ≈ 4,455 Ом, R₃ ≈ 1,61 Ом. Знайдіть загальний опір на ділянці цього кола. Результат округліть до сотих.

85. Турист на човні рухався спочатку проти течії річки, а потім за течією. Який шлях він пройшов загалом, якщо швидкість човна в стоячій воді – 25 км/год, швидкість течії річки 2 км/год, час руху за течією t_з, а проти течії t_п? Обчисліть за умови:

а) t_п = 30 хв, t_з = 1 год 10 хв; б) t_п = 15 хв, t_з = 50 хв.

86. Вартість обладнання – А грн., а вартість його капіт аль- ного ремонту – r. До капітального ремонту обладнання працює n років, а з ремонтом – m років. Відомо, що капітальний ремонт є рентабельним, якщо

Визначте, в якому випадку капітальний ремонт обладнання буде рента бельним:

а) А = 1200 грн., r = 300 грн., n = 3 роки, m = 4 роки;

б) А = 2100 грн., r = 800 грн., n = 6 років, m = 10 років;

в) А = 3500 грн., r = 2000 грн., n = 12 років, m = 20 років;

г) А = 6000 грн., r = 2500 грн., n = 10 років, m = 20 років.

87. На деякий момент часу зафіксовано курси валют, подані в таблиці.

Назва	Курс НБУ	Комерційний курс
1 долар США	7,64	7,831
1 євро	10,73	10,96
1 російський рубль	0,25	0,26

Знайдіть суму грошей у національній валюті, за курсом НБУ і комерційним, якщо в наявності було:

а) 21,3 євро, 231,3 дол., 135 руб., 12 375,5 грн.;

б) 91,5 євро, 321,5 дол., 35 руб., 1237 грн.;

в) 71,2 євро, 23 дол., 535 руб., 92 375,5 грн.

88. Одне з двох натуральних чисел на 5 більше за інше. Знай діть ці числа, якщо їх добуток дорівнює 266.

89. Раціональним чи ірраціональним є число?

90. Знайдіть 12 % від числа: а) 45; б) 2,5.

91. Знайдіть число, 15 % якого дорівнює: а) 300; б) 0,6.

§ 3. Відсоткові розрахунки

Багатьом фахівцям часто доводиться виконувати обчис ленн я за умови, якщо деякі значення виражено у відсотках. Коротко їх називають відсотковими розрахунками.

Нагадаємо, що відсоток – це сота частина. 1 % = 0,01, 10 % = 0,1, 100 % = 1.

Примітка. Відсотки часто називають процентами, а зам ість «скільки відсотків» іноді кажуть «який відсоток».

Існує три основні види задач на відсотки:

1 знаходження відсотків від числа;

2 знаходження числа за відсотками;

3 знаходження відсоткового відношення двох чисел.

Розглянемо приклади таких задач.

1

Потрібно зорати поле, площа якого дорівнює 300 га. За перший день трактористи виконали 40 % завдання. Скільки гектарів зорали вони за перший день?

2 За перший день трактористи зорали 120 га, що стан овить 40 % поля. Знайдіть площу всього поля.

3 Потрібно зорати поле, площа якого дорівнює 300 га. За перший день трактористи зорали 120 га. Скільки відс отків усього поля вони зорали за перший день?

Спробуйте розв’язати кожну із цих задач кількома способ ам и, замінивши 40 % дробом 0,4 чи

Такі задачі зручно розв’язувати способом пропорції. Офор м люват и розв’язання сформульованих задач можна так:

300 га – 100 %, х га – 40 %.

120 га – 40 %, х га – 100 %.

3 300 га – 100 %,

120 га – х %.

Крім трьох основних видів задач, існують також склад ніші задачі на відсотки. Насамперед це задачі, в яких ідеться про збільшення чи зменшення чого9небудь на кільк а відсотків, і обернені до них. Розв’язуючи такі задачі, уточнюйте насам -

перед про відсотки від чого саме йдеться. Про це в задачі прямо не говориться, але існують домовлен ості про розуміння тих чи інших висловлювань.

Для прикладу розглянемо задачу.

Задача. Спочатку ціну на товар підвищили на 10 %, а потім знизили на 10 %. Як змінилася ціна на цей товар у результаті двох переоцінок?

Зверніть увагу на те, що перший раз ідеться про 10 % від початкової ціни, а другий раз – про 10 % від підвищен ої ціни.

А вони не однакові.

Р о з в ’ я з а н н я. Нехай спочатку товар коштував а грн.

Після підвищення ціни на 10 % він став коштувати а грн. + + 0,1а грн., або 1,1а грн.

10 % від підвищеної ціни становлять (1,1^а ⋅ 0,1) грн., або 0,11а грн. Після зниження вартості товар став коштув ати (1,1а – – 0,11а) грн., або 0,99а грн.

Отже, спочатку товар коштував а грн., а після двох пер ео ці- нок став коштувати 0,99а грн., тобто на 0,01а грн. менше. Це становить 0,01а : а = 0,01, або 1 %.

Відповідь. Після двох переоцінок початкова ціна товар у знизилася на 1%.

Особливо часто доводиться розв’язувати задачі на відсотки бухгалтерам і працівникам банків. Розглянемо для прикладу задачі, пов’язані з нарахуванням відсоткових грошей.

Прості відсотки – це нарахування відсотків лише на поч ат- ково інвестовану суму.

Наприклад, на початку року вкладник розміщує на рахунку в банку суму Р під відсоток r. Через рік він одержить суму Р₁, яка дорівнює початковому вкладу (Р) плюс нараховані від сотки:

Тут Р – сума початкового вкладу, Р_n – сума вкладу через n років.

Нарахування за схемою простих відсотків застосовується, як правило, в короткострокових фінансових операціях, коли після кожного інтервалу нарахування кредитору виплачують ся відсотки, а також у будь9яких інших випадках за домов ле ністю сторін, що беруть участь в операції.

У довгострокових фінансово9кредитних угодах частіше використовують складні відсотки – їх нараховують не тільки на основну суму, а й на нараховані раніше відсотки. У цьому випадку кажуть, що відбувається капіталізація відсотків у міру їх нарахування.

Припустимо, що вкладник дав ощадбанку під 9 % річних 1000 грн. Це – початковий капітал. Через рік банк нарахує вкладнику за це 90 грн. відсоткових грошей (9 % від 1000 грн.). Після цього на рахунку вкладника стане 1090 грн., оскільки 1000 (1 + 0,09) = 1090. За другий рік відсоткових грошей йому нарах ують уже 9 % від 1090 грн.; нарощений капітал вклад9 ника після двох років дорівнюватиме 1000 (1 + 0,09)² грн. Зрозуміло, що через n років нарощений капітал становитиме 1000 (1 + 0,09)ⁿ грн.