Математика 10 класс Бевз стандарт (стр. 7 из 8)

Напр икл ад, на мал юнк у 13 зобр аж ен о графік функції ^у = 2х – 3, зад ан ої на відрізку [–1; 5], а на мал юнк у 14 – гра9 фік функції

на відрізку [1; 6].

Ма ю чи графік функції, мож на для будь9яко го зна чен ня ар гум ент у (з обл асті визн ач енн я) вказ ат и відповідне знач енн я функції. Для прик ла ду знай де мо зна чен ня функції

, як що ^х = 4, кор ист ую ч ись поб уд ов ан им графіком. Шук аємо на осі х точк у з абсц ис ою 4, на графіку знах од им о точк у М з абсц ис ою 4, а на осі орд ин ат – орд ин ат у точк и М; вон а дорівнює 1,5. Отж е, ко рис ту ю чись графіком функції, мож на склас ти таб ли цю її знач ень, тобт о графік зад ає функцію. Графічний спосіб за дан ня

функції зручн ий своєю нао чністю. Дивл яч ись на графік, одр аз у мож на з’ясу ва ти влас ти вості функції, яку він за дає. Зок ре ма, мож на вста но ви ти такі її ха рак те рис ти ки:

• об ласть виз на чен ня і об ласть зна чень функції;

• при яких зна чен нях ар гу мен ту зна чен ня функції до датні, при яких – від’ємні, при яких дорівнюю ть нул ю;

• на яких проміжках функція зрос тає, а на яких спа дає.

Існую ть прил ад и – терм огр аф и, які самі кресл ять графік тем- пер ат ур и. Графіком функції є так ож кардіогр ам а, накр есл ен а кардіогр аф ом (мал. 15). «Чит аю ч и» так ий графік, лікар діагн ос- тує роб от у серц я хвор ог о. Взаг алі, баг атьо м фахівцям треб а вміти «чи та ти» різні графіки.

Чи за дає функцію графік, зоб ра же ний на мал юнк у 16? Ні, оскільки на ць о му графіку од но му зна чен ню ар гу мен ту х (нап рик лад, х = 3) від повідають три різних зна чен ня у. А згід но з оз на чен ням функцією вва жаєть ся тіль ки та ка відповід ність, при якій одн ом у знач енн ю арг ум ент у х відпо ві дає єди не зна чен ня функ ції у.

Існує баг ат о різних видів функц ій.

Дея кі з них ви вже знає те: ^{Мал. 16}

• у = kх – прям а проп орційність (k ≠ 0);

• у = kх + b – лінійна функція;

•

– обер не на про порційність (k ≠ 0);

• у = ах² + bх + с – квадр ат ичн а (або квадр атн а) функція (a ≠ 0). Графіки найуж ив аніших функцій под ан о в табл иці 1.

Щоб буд ув ат и графіки складніших функцій, вик ор ист ов ую ть такі пра ви ла.

• Графіки функцій y = f(х) і y = –f(х) сим етр ичні відносн о осі х.

• Щоб по бу ду ва ти графік функції y = kf(х), де k > 0, треб а графік функції ^y = f(х) розт ягн ут и від осі х у k разів, якщ о k > 1, або стисн ут и йог о в

разів до осі х, якщ о 0 < k < 1.

Таб ли ця 1

y = x	y = x2 графік – парабола E(y) = [0; +∞)
D(y) = (–∞; 0) ∪ (0; +∞) E(y) = (–∞; 0) ∪ (0; +∞)	y = x3 графік – кубічна парабола E(y) = R
E(y) = [0; +∞)

• Щоб побудувати графік функції y=f(kх), де k> 0, треба графік функції ^y = f(х) розтягнути від осі y в

разів, якщо 0 < k < 1, або стиснути його в k разів, якщо k > 1.

• Щоб одерж ат и графік функції y = f(х) + n, треб а графік функції ^y = f(х) пе ре нес ти на n один иць у напр ямі осі у, як що n > 0, або на |n| один иць у прот ил ежн ом у напр ямі, якщ о n < 0.

• Щоб одерж ат и графік функції y = f(х – m), дос ить графік функції ^y = f(х) пе ре нес ти на m один иць у напр ямі осі х, як що m > 0, або на |m| оди ниць у про ти леж но му нап рям і, як що m < 0.

Прик ла ди по бу до ви графіків у = х², у = 2х², у = –2х² по да но на ма люн ку 17, а графіків у = х², у = (х – 3,5)², у = (х – 3,5)² + 3 – на ма люн ку 18.

Термін «функція» ввів у математику Г.В. Лейбніц.

ЛЕЙБНІЦ ГОТФРІД ВІЛЬГ ЕЛЬМ

(1646–1716)

Вид атн ий німецьк ий учен ий. За освітою юрист, прац юв ав бібліотек ар ем, історіогр аф ом, орг анізув ав Берлінськ у акад емію нау к, досліджув ав проб ле ми політич ної еко номії, мо воз на в ства, хі мії, ге о логії, констру ю вав об чис лю вальні ма ши ни. Ос но во по лож ник сим волічної логіки, один з творців мат ем ат ичн ог о аналізу. Ввів терміни: «функція», «абс ци са», «орд ин ат а», логічну сим- воліку, знак и множ енн я і ділен ня (крап ку і дво к рап ку) та ін.

«Після Лейбніца, ма буть, уже не бу ло лю ди ни, яка повністю охоп лю ва ла б усе інте лек ту аль не жит тя сво го ча су».

Н. Вінер

ПЕРЕВІРТЕ СЕБЕ

1. Що так е функція? Як позн ач аю ть функції?

2. Що та ке ар гу мент функції, об ласть виз на чен ня функції?

3. Як мож на за да ва ти функцію?

4. Назвіть осн овні вид и функцій. Які їх графіки?

5. За да но графік функції ^у = f(х). Як по бу ду ва ти графік функції:

а) у = аf(х); б) у = f(х) + b; в) у = f(х + а)?

6. Які функції на зи ва ють рівни ми? А нерівни ми? На ведіть прик ла ди.

Розв’язання. а) Про а налізуємо функцію

Змінна хмож е наб ув ат и будь9яких знач ень, крім тих, при яких знам енн ик дроб у

дорівнює нул ю. Щоб їх знайт и, розв ’яже9

мо рівнянн я 9 – х² = 0, (3 – х)(3 + х) = 0, звідcи х₁ = 3, х₂ = –3.

От же, об ласть виз на чен ня функції – мно жи на дійсних чи сел, крім х = 3.

D(y) = (–∞; –3) (–3; 3) ∪(3; +∞).

б) Розг ля не мо функцію . Ви ко наємо то тожні

перетв ор енн я: отж е,

При будь9яких зна чен нях змінної х вираз (1 – х)² 0, а то му обл асть виз н ач енн я функції – уся множ ин а дійсних чис ел.

D(y) = R.

2. Чим різнятьс я графіки функцій

Розв’язання. Праві част ин и да9

вир аз має числ ові значенн я при всіх дійсних зна чен нях х, а дру гий – при

всіх, крім ^х = 3. То му графік пер шої _{Мал. 19} функції – прям а, а друг ої – прям а без однієї точк и (мал. 19).

150. Як на зи ваєть ся графік функції, за да ної фор му лою:

а) у = 3х + 1; б) у = х²; в) у = 3; г) у = х^–1?

151. Графік якої з функцій про хо дить че рез по ча ток ко ор ди нат:

а) у = –5х; б) у = 3х – 2; в) у = 2х²; г) у = х (х – 2)?

152. Які з функцій, за да них фор му ла ми у = 15 – х, у = |х|, у = 3(х – 2), у = х² + 5, не можуть мати від’ємних значень.

153. Чи є пло ща кру га функцією йо го радіуса? А йо го діа мет ра?

154. Чи є об’єм куб а функцією довж ин и йог о ребр а? Спро- буйте за да ти цю функцію фор му лою.

À

155. За дай те фор му лою функцію, яка ви ра жає пло щу квад ра та че рез йо го пе ри метр Р.

156.

По бу дуй те графік функції, яка ви ра жає за лежність пе ри мет ра пра виль но го три кут ни ка від дов жи ни йо го сто ро ни. 157. На мал юнк у 20 зобр аж ен о графік функції. Один учень ствер джує, що цю функцію мож на за да ти фор му лою інший – що гра фіку відповідає форм ул а ^у = |х|. Хто з них прав ий?

158. У США осн овн ою один иц ею дов жи ни вва жаєть ся ярд, який до9