Математика 10 класс Бевз стандарт (стр. 1 из 8)

Пе ред мо ва

На у ку ма те ма ти ку мож на розг ля да ти з різних то чок зо ру. Одні ба чать у ній на сам пе ред своє рід ний інстру мент для на у ковців, інжен ерів і техн ік ів. Бо за допомогою математичного моделювання можна порівняно легко і швидко розв’язувати дуже важливі прикладні проблеми, які іншими методами розв’язувати надто дорого або неможливо. Ось що гов ор ил и про ма те ма ти ку відомі лю ди:

«У вив чен ня при ро ди ма те ма ти ка робить най біль ший вне сок» (Прокл, V ст.).

«Той, хто не знає ма те ма ти ки... не мо же пізна ти світ» (Р. Бек он, XIII ст.).

«Лю ди, які зас воїли ве ликі прин ци пи ма те ма ти ки, ма ють на один орг ан чутт я більш е, ніж прості смертні» (Ч. Дарвін, ХІХ ст.).

Ма те ма ти ка не тіль ки ко рис ний інстру мент чи засіб, а й знач на час ти на за галь но людсь кої куль тури. Як що істо рик опи сує тільк и війни і рев ол юції, діяльність царів, полк ов одців і митців, йог о іст ор ія неповн а, одн обічна. Ноmо sаріеns – люд и- на мисл яч а. Том у історія людства пер ед усім має містит и опис и діяльн ості кращ их мисл ит елів, зокр ем а й мат ем ат иків. Чи від оме вам найбіль ше відкрит тя XVII ст.? Во но сто суєть ся ма те ма ти ки. А чи мо же істо рик об ми на ти най важ ливіші від крит тя? Які найістотніші зміни відбу ли ся в другій по ло вині XX ст.? Ство рен ня швид кодію чих елект рон них об чис лю валь них ма шин (ЕОМ), а на їх ос нові – комп’ютерів. Комп’юте ри зація на ук и і вир обн иц тв а безп ер ечн о внос ить у розв ит ок людства зміни наб аг ат о важл ивіші й ваг оміші, ніж зміни урядів, ло- кальні війни і будь9що інше. Щоб прав ильн о опис ат и цю епох у, істор ик має сказ ат и про створ енн я ЕОМ і комп’ютерів, а для ць о го він по ви нен хоч тро хи зна ти історію ма те ма ти ки.

Дехт о з учнів гов ор ить: «Мені не потрібна мат ем ат ик а, бо я не зби ра ю ся бути ма те ма ти ком». Подібна ар гу мен тація анітро хи не кращ а так ої: «Мені не потрібен авт ом обіль, бо я не збир а- ю ся бути шо фе ром».

Ма те ма ти ка – це своєрідна мо ва, засіб спілку ван ня. Чи ж мо же філо лог ефек тив но досліджу ва ти різні мо ви, не ма ю чи уяв лен ня про су час ну ма те ма тич ну мо ву та її історію?

Мат ем ат ик а – осн ов а баг атьо х нау к, поч ин аю ч и від філос оф ії й аж до кос мо гонії. А ще во на – логічний тренінг мис ли тель ної діяльн ості для фахівців з будь9якої гал узі знань. Не вип адк ов о ба га то ма те ма тиків доб ре ви я ви ли се бе і в інших га лу зях. На п рик лад, Піфа гор, Р. Де карт, Б. Пас каль – філо со фи, О. Хайям – по ет, П. Фер ма – юрист, І. Кеп лер – бо гос лов, Г. Лейбніц –

3

магістр філос офії, докт ор прав а, юрист, дипл ом ат. Цей спис ок мож на про дов жу ва ти.

Справжній ма те ма тик має не тіль ки на один «ор ган чут тя» біль ше від зви чай ної лю ди ни, він має та кож знач но біль ше «сту пенів сво бо ди». З три вимірно го прос то ру йо му зовсім не важ ко пе рей ти в чо ти ри вимірний чи в будь9який n9ви мір ний або в простір Бан ах а, Гільб ерт а, Клейн а тощ о. А кожн ий із цих прост орів – дивн ий своєр ідн ий світ, баг атш ий і корисніший від світів, виг ад ан их фант аст ам и. Мат ем ат ик а та її історія настільк и баг аті, що справжній філос оф, істор ик, будь9який гум анітарій у них мо же знай ти чи ма ло ціка во го й ко рис но го.

У ць о му підруч ни ку про по нуєть ся інтег ро ва ний курс ма те ма ти ки. До нь о го вхо дять най важ ливіші те ми з ариф ме ти ки, ал геб ри, по чатків аналізу та з ге о метрії.

Окр емі тем и ви вже знаєте з поп ер едніх класів, а більшість – зовсім нові. На ма гай те ся опа ну ва ти їх. Чи та ю чи те орію, ос нов ну ува гу звер тай те на сло ва, над ру ко вані кур си вом і жир ним шриф том. Кур си вом виділе но терміни, наз ви по нять. Жир ним шриф том над ру ко ва но важ ливі тверд жен ня, те о ре ми.

Зна ти ма те ма ти ку – це на сам пе ред уміти ко рис ту ва тися нею. Учит ис я кор ист ув ат ис я мат ем ат ичн им и знанн ям и най- к ра ще під час розв’язу ван ня за дач. У підруч ни ку є за дачі до кож ної те ми, до кож но го па раг ра фа – різних рівнів склад ності. Зад ачі і вправ и в підручн ик у поділен о на: «Вик он айт е ус9 но», рівень А, рівень Б і «Вправи для повт ор енн я». Завд ан- ня, ре ко мен до вані для до машньої ро бо ти, виділено коль о ром. У кожно му па раг рафі підруч ни ка є руб ри ка «Ви ко наємо ра зом», у якій подано зад ачі з розв’язан нями. Ра ди мо перег ля ну ти їх, перш ніж ви ко ну ва ти до машнє зав дан ня.

Цікаві до пов нен ня до ос нов но го ма теріалу містять ся в руб ри ках «Істо ричні відо мості».

Для узаг альн енн я і сист ем ат из ації вивч ен ог о мат еріалу призначено рубрики «Гол овн е в розділі» і «Сам остійна ро- бо та».

У до дат ках для тих, хто хо че дізна ти ся біль ше, про по ну ють ся тем и для робіт творч ог о хар акт ер у і спис ок відповідної літе- ра ту ри.

Мат ем ат ик у можн а порівнят и з вел ик им і барв истим квітни ком, у яко му ко жен мо же дібра ти собі бу кет за сма ком. Зроз уміло, щоб зроб ит и це, сперш у треб а ввійти в цей квітник. Лас ка во про си мо!

Ав тори

§ 1. Дійсні числа

Важ ли ву роль у ма те ма тиці відігра ють чис ла. Найп ростіші з них – на ту ральні чис ла 1, 2, 3, 4, 5, ..., які вик ор ист ов ую ть під час лічби. Вон и бул и відомі ще в доістор ичні час и. Зроз уміло, що наз ив ал и і зап ис ув ал и їх раніше не так, як теп ер.

Не слід ото тож ню ва ти чис ла із циф ра ми. Циф ри – це знач ки, яки ми поз на ча ють чис ла. На ту раль них чи сел існує безліч, а цифр – тільк и дес ять: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Такі цифр и на- зи ва ють арабсь ки ми або індійсь ки ми. Іноді чис ла поз на ча ють так ож римськ им и цифр ам и І, V, X, L, С, D, М, які відповідаю ть числ ам 1, 5, 10, 50, 100, 500 і 1000. Напр икл ад, числ о 1998 римсь ки ми циф ра ми за пи суєть ся так: МСМХСVIII. Як що ти сяч ба га то, їх відок рем лю ють від оди ниць літерою m. За пис XXVIImССLХХХІV оз на чає чис ло 27284.

Існую ть спеціальні позн ач енн я чис ел в азб уці Морз е. А в рельєфно9точ ко во му шрифті Брай ля циф ри поз на ча ють різни ми конфігур аціями точ ок (мал. 1).

Зга даємо, як на зи ва ють і поз на ча ють ве ликі чис ла:

мілья рд – 1 000 000 000 = 10⁹; трильйон – 1 000 000 000 000 = 10¹²; квадр ильйон – 1 000 000 000 000 000 = 10¹⁵; квінтильйон – 1 000 000 000 000 000 000 = 10¹⁸.

У різних країнах вел икі числ а наз ив аю ть по9різном у. Наприкл ад, трильйон ом у США, Франції наз ив аю ть числ о 10¹², а в Англії, Німечч ині 10¹⁸. Ми слов ам и «мілья рд» і «більйон» наз ив аємо одн е й те сам е числ о 10⁹, а в Німечч ині більйо ном прий ня то на зи ва ти чис ло 10¹². Вар то звер ну ти ува гу та кож на те, що ми чис ло 0 не вва жаємо на ту раль ним, а в Італії, Франції та де я ких інших країнах 0 відно сять до на ту раль них чи сел.

Мал. 1

не про хо дить, 1 – про хо дить. Уявіть, нап рик лад, блок з де ся ти лам по чок. Як що в нь о му увімкне но тіль ки пер шу, п’яту, восьм у і дев’яту ламп очк и (мал. 2), то вваж аю ть, що позн а- чено чис ло 1000100110. Пе рек лю ча ти такі бло ки, тоб то «за писув ат и і вит ир ати» числ а, а отж е, дод ав ат и і віднімат и їх, мож на за ти сячні част ки се кун ди. Удос ко на лю ючи такі «су ма то ри», фахівці ство ри ли швид ко діючі елект ронні об чис лювальні ма ши ни. Об’єднав ши ЕОМ з те левізо ра ми, ство ри ли комп’ю тери. В ос нові ць о го – за пис чис ла тіль ки дво ма циф рами!

Крім нат ур альн их, відомі так ож числ а цілі, раціональні, дійсні та інші. Мно жи на цілих чи сел містить усі на ту ральні числ а, усі прот ил ежні їм числ а і 0, тобт о це числ а ..., –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... .

Мал. 2

Цілі чис ла ра зом з дро бо ви ми ут во рю ють мно жи ну ра ціо нальн их чис ел. Раціональн им наз ив аю ть кожн е числ о, яке мож на по да ти у виг ляді дро бу

, де m – чис ло ціле, а n – на ту9 раль не. Кож не раціональ не чис ло мож на за пи са ти у виг ляді скінченн ог о або нескінченн ог о періодичн ог о дес ятк ов ог о дроб у.

Існую ть числ а, відмінні від раціональн их. Напр икл ад, обч ис9 лю ючи зна чен ня діста ють нескінченні не пе ріо дичні

Ці числ а – не раціональні.

Чис ла, які зоб ра жа ють ся нескінчен ни ми не періодич ни ми де сят ко ви ми дро ба ми, на зи ва ють ірраціональ ни ми. Ірра ціо нальн ий – знач ить не раціональн ий (лат . ir відповідає за пе ре чу вальній частці не).