Геометрия 10 класс Бурда академ (стр. 3 из 6)

побудований трикутник ABC задовольняє всі вимоги задачі.

$ І Розв’язуючи задачі на побудову методом подібності:

1) виділіть з умови задачі ті дані, які визначають форму шуканого трикутника (відношення відрізків і кути);

2) побудуйте за цими даними допоміжний трикутник, подібний шуканому;

3) побудуйте шуканий трикутник, використавши ті дані умови, які визначають його розміри (довжини відрізків).

3. метод геометричних місць

Задача. Побудуйте точку в середині кута ABC, яка рівновіддалена від його сторін і розміщується на відстані d від точки M.

!> Розв’язання.

Аналіз (мал. 17). Шукана точка X має задовольняти дві вимоги:

1) бути рівновіддаленою від сторін Z ABC;

2) лежати на відстані d від точки M.

Геометричним місцем точок, що задовольняють першу вимогу, є бісектриса Z ABC, а геометричним місцем точок, що задовольняють другу вимогу, є коло з центром Mі радіусом d. Шукана точка X лежить на перетині цих геометричних місць.

Побудова. Будуємо: бісектрису Z ABC; коло з центром M! радіусом d; X — точку перетину бісектриси і кола. Таких точок може бути або дві — X₁ і X₂ (мал. 17), або одна, або жодної.

і І Розв’язуючи задачі методом геометричних місць:

1) проаналізуйте умову задачі та виділіть шукану точку;

2) з’ясуйте, які дві вимоги вона задовольняє;

3) знайдіть геометричне місце точок, що задовольняють: першу вимогу; другу вимогу;

4) зробіть висновок: шукана точка — точка перетину знайдених геометричних місць.

4. МЕТод коордиНАТ

Розв’язуючи задачу методом координат, дану фігуру слід розміщувати відносно осей координат так, щоб якнайбільше координат потрібних точок дорівнювали нулю, а також одному і тому самому числу. Наприклад, координати вершин прямокутника ABCD доцільно взяти такі: A (0; 0), B (0; 6), C (a; 6), D (a; 0).

!!> Задача. Доведіть, що коли в паралелограма діагоналі рівні, то він — пря-

І

мокутник.

!> Розв’язання. Перший крок. Записуємо задачу мовою координат. Розміщуємо систему координат відносно паралелограма так, щоб його вершини мали координати: A (0; 0), B (b; c), C (a + b; c), D (a; 0) (мал. 18).

За умовою AC = BD. Подаємо відстані між точками A і C, B і Dчерез їх координати:

(a + b-0)² + (c- 0)² = (a-b)² + (0 - c)²,

(a + b)² + c² = (a — b)² + c².

Другий крок. Перетворюємо одержану рівність:

a² + 2ab + b² + c² = a² — 2ab + b² + c², звідси 4ab = 0.

Третій крок. З останньої рівності випливає: оскільки a > 0, то b = 0. Це означає, що точка B (b; c) лежить на осі OY. Тому кут BAD прямий, а звідси паралелограм ABCD — прямокутник.

^ І Розв’язуючи задачу координатним методом, виконайте три кроки:

1) запишіть геометричну задачу мовою координат;

2) перетворіть алгебраїчний вираз;

3) перекладіть знайдений результат мовою геометрії.

5. алгебраїчний метод

Задача. Периметр ромба дорівнює 2p, сума його діагоналей m. Знайдіть площу ромба.

Розв’язання. Позначимо діагоналі ромба через хі у(мал. 19). Тоді, за умовою задачі, матимемо: x + y = m.

З прямокутного трикутника AOD: І 1+1 1=1 1 , оскільки сторона ромба

дорівнює одній четвертій його периметра, a = = ^р. Помноживши обидві

частини другого рівняння на 4, дістанемо систему . п п

рівнянь:

IX + y = т,

[х ²+ у ² = p ².

2 2 т - p

2

З цієї системи рівнянь визначимо добуток ху. Для цього піднесемо перше рівняння до квадрата і віднімемо від нього друге рівняння, матимемо:

2ху = т ² — p ², звідки ху =

Площа ромба дорівнює половині добутку діа-

1 т⁵ - р⁵

гоналей, отже, 5 = ху = .

2 4 ⁶

Щ дізнайтеся більше^

метод векторів

Мал. 20

> Задача. Доведіть, що середня лінія трикутника паралельна стороні й дорівнює її половині.

Розв’язання. Нехай EF— середня лінія трикутника

1

ABC (мал. 20). Доведемо, що EF N AC і EF = ^ AC.

Перший крок. Сформулюємо вимогу задачі мовою векторів: позначимо на малюнку вектори AB, BF, BC, AC і EF. ^ ₁

Тоді вимогу задачі запишемо так: EF = ^ AC .

Другий крок. За правилом трикутника, EF = EB + BF. Перетворимо цю векторну рівність, враховуючи, що

EB = 1 AB, BF = 2 ~BC і AB + ~BC= AC.

Дістанемо:

EF = EB+ BF = - AB + - BC= ₂( AB+ BC) = ₂ AC.

Третій крок. З останньої векторної рівності EF = 2 AC випливає:

1) вектори EF і AC колінеарні і, отже, відрізки EFі ACпаралельні;

- 1 - 1

2) |EF| = 2 |AC | , або EF = ^AC.

_$У Щоб застосувати вектори до розв’язування задачі, виконайте три кроки:

1) сформулюйте задачу мовою векторів. Для цього спочатку розгляньте деякі дані у задачі відрізки як вектори. Потім складіть векторну рівність;

2) перетворіть векторну рівність, користуючись законами дій над векторами і відомими векторними рівностями;

3) перекладіть знайдений результат мовою геометрії.

згадайте головне ^{7 5 8 9}

5. Назвіть основні співвідношення між сторонами і кутами довільного трикутника; прямокутного трикутника.

6. За якими формулами можна обчислити площу трикутника?

7. які є ознаки рівності трикутників? А подібності?

8. Дайте означення паралелограма, прямокутника, ромба, квадрата, трапеції. які їх властивості?

9. який многокутник називається вписаним у коло? Описаним навколо кола?

10. які властивості трикутника, вписаного у коло, і трикутника, описаного навколо кола? А чотирикутника?

11. Що таке правильний многокутник та які його властивості?

12. як використовують під час розв’язування задач допоміжні трикутники (один або кілька нерівних трикутників, рівні трикутники, подібні трикутники)?

13. У чому полягає суть методу подібності? Методу геометричних місць?

14. Назвіть кроки розв’язування задач методом координат.

15. Поясніть суть етапів алгебраїчного методу розв’язування задач.

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ

1'. За даними на малюнках 21 — 23, знайдіть x і у.

Мал. 22

Мал. 23

х Мал. 21