Геометрия 10 класс Бурда академ (стр. 4 из 6)
15. Якщо з точки M поза колом проведено дві січні, що перетинають коло відповідно в точках A, B, Cі D, то AM • BM = CM • DM.
Доведіть.
16. Якщо з точки M поза колом проведено січну, що перетинає коло в точках A і B, та дотичну, що дотикається до кола в точці C, то CM2 = AM • BM. Доведіть.
17. Сума кутів при одній з основ трапеції дорівнює 90°. Доведіть, що висота трапеції є середнім пропорційним між проекціями її бічних сторін на основу.
18*. Доведіть, що медіана трикутника ABC, проведена з вершини A, менша від півсуми сторін AB і AC.
19*. Трикутник ABC вписаний у коло (мал. 31). Через вершину A проведено дотичну до кола, через B — пряму, паралельну дотичній і яка перетинає сторону AC чи її продовження в точці D. Доведіть, що AB2 = AC¦ AD.
| B |
 |
| A C Мал. 32 Мал. 33 |
Розв’яжіть задачі 20 — 26 методом подібності.
20’. Побудуйте відрізок, який є середнім пропорційним між двома відрізками довжиною:
1) 9 см і 1 см;
2) 2 см і 8 см;
3) 4 см і 4 см.
21°. Побудуйте трикутник за такими даними:
1) ZA = 60°, ZB = 70°, Іс = 4 см;
2) ZA = 50°, ZC = 80°, hb = 3 см;
3) ZB = 40°, ZC = 75°, la = 5 см.
22. Побудуйте трикутник за двома кутами а і в та бісектрисою l третього кута. За малюнком 32 складіть план побудови.
23. Побудуйте трикутник за двома кутами і медіаною, проведеною з вершини третього кута.
24. Побудуйте трикутник за кутом, відношенням сторін цього кута і проведеною до третьої сторони:
1) медіаною;
2) висотою.
25. Побудуйте прямокутний трикутник:
1) за відношенням катетів і гіпотенузою;
2) за відношенням катета до гіпотенузи і другим катетом.
26*. Побудуйте паралелограм за відношенням діагоналей, кутом між діагоналями і стороною.
Розв’яжіть задачі 27 — 33 методом геометричних місць.
27’. На прямій а, яка перетинає сторони даного кута A, знайдіть точку, рівновід-далену від його сторін.
28° Побудуйте точку, рівновіддалену від сторін кута ABC і точок Mі K.
Знайдіть точку, яка знаходиться на відстані n від прямої а і на відстані m від точки M. Скільки може бути таких точок?
29.
30.
31.
32. 33*.
34’.
35°.
36.
37.
38. 39*.
40’.
Побудуйте коло, що проходить через точку A і дотикається до прямої а в точці B.
Побудуйте трикутник за стороною b, медіаною т, проведеною до цієї сторони, і радіусом R описаного кола. За малюнком 33 складіть план побудови.
Побудуйте рівнобедрений трикутник за основою а і радіусом R описаного кола.
Побудуйте трикутник за стороною а, проведеною до неї медіаною т та висотою h, проведеною до другої сторони.
Розв’яжіть задачі 34 — 38 методом координат.
Знайдіть довжину відрізка з кінцями в точках:
1) A (4; -2), B (-2; 6);
2) A (4; -2), B (1; 2);
3) O (0; 0), D (5; 12).
CH — висота рівнобедреного трикутника ABC, проведена до основи AB. Знайдіть довжину медіани, проведеної до бічної сторони, якщо:
1) AB = 12 см, CH = 4 см;
2) AB = 4 см, CH = 6 см.
Доведіть, що середина гіпотенузи прямокутного трикутника рівновіддалена від його вершин.
Якщо чотирикутник ABCD — прямокутник, то для будь-якої точки M площини справджується рівність: MA 2 + MC2 = MB 2 + MD 2.
Доведіть.
Доведіть, що сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів його сторін.
Доведіть, що сума квадратів діагоналей трапеції дорівнює сумі квадратів бічних сторін, доданій до подвоєного добутку основ.
Розв’яжіть задачі 40 — 45 алгебраїчним методом.
За даними, наведеними на малюнку 34, знайдіть кути трикутника.
Одна сторона трикутника удвічі більша за другу, а третя сторона дорівнює а. Периметр трикутника дорівнює P.
Знайдіть невідомі сторони трикутника, якщо:
1) а = 5 см, P = 35 см;
2) а = 7 см, P = 43 см;
3) а = 8 см, P = 29 см.
42. Сторони прямокутника відносяться, як т : п. Складіть формули для знаходження сторін прямокутника, якщо:
1) площа дорівнює 5;
2) периметр дорівнює P.
43. Знайдіть сторони чотирикутника, якщо його периметр дорівнює 66 см, одна сторона більша за другу на 8 см і на стільки ж менша від третьої, а четверта сторона — в три рази більша за другу.
44. З точки до прямої проведено дві похилі, які дорівнюють 10 см і 17 см, а їх проекції відносяться, як 2 : 5.
Знайдіть:
2) відстань від точки до прямої.
45*. Сума діагоналей ромба дорівнює т, а його площа 5.
Знайдіть діагоналі ромба, якщо:
1) т = 10 см, 5 = 8 см2;
2) т = 26 см, 5 = 72 см2.
46. На горі знаходиться башта висотою 70 м (мал. 35). Деякий предмет (точка A ) на підошві гори видно з вершини башти (точка B ) під кутом 60° до горизонту, а з її основи (точка C) — під кутом 30° до горизонту.
Знайдіть висоту гори.
47. На малюнку 36 показано, як можна виміряти висоту дерева, користуючись віхою з планкою.
Поясніть вимірювання.
 |
| Мал. 37 |
48. Спостерігачам, які знаходяться у пункті A, повідомили, що вертоліт знаходиться над об'єктом B на висоті 500 м (мал. 37). Вертоліт видно з пункту A під кутом 9°. Знайдіть відстань від пункту A до об'єкта B.
49. Основа щогли недоступна (мал. 38). Знайдіть висоту щогли, якщо AB = 10 м,
а = 45°, в = 50° і висота h приладу, яким вимірювали кути, дорівнює 1,5 м.
C
D
h
A
B
M
Мал. 38
перевірте,як засвоїли планіметрію
25
тестове завдання
Уважно прочитайте задачі і знайдіть серед запропонованих відповідей правильну. Для виконання тестового завдання потрібно 10 - 15 хв.
(1°) Відрізки AB і CD перетинаються в точці O, яка є серединою кожного з них. З рівності яких трикутників випливає, що BC = AD?
A. ABOC і ABOD. Б. ABOC і AAOC. В. AABD і AACD. Г. ABOC і AAOD.
(2° На даному колі потрібно знайти точку, рівновіддалену від точок A і B. Яка з побудов правильна?
A. Б. В. Г.
,в
(3°( З точки кола проведено перпендикуляр до діаметра. Знайдіть довжину перпендикуляра, якщо його основа ділить діаметр на відрізки 4 см і 9 см.
A. 13 см. Б. 6 см. В. 36 см. Г. VT3 см.
(4) Знайдіть довжину медіани AM трикутника з вершинами у точках A (— 1; 4), B (2; 3), C (2; - 3).
A. 3. Б. 5. В. VT7. Г. 3 V2 см.
У прямокутній трапеції ABCD (ZA = 90°) основи AD і BC відповідно дорівнюють 10 см і 3 см, а висота дорівнює 4 см. Знайдіть відстань від середини більшої основи до вершини C.
A. 5 см. Б. 4 см. В. V5 см. Г. 2V5 см.
розділ
ВСТУП
до СТЕРЕОМЕТРІЇ
У розділі дізнаєтесь:
> що вивчає стереометрія;
> які фігури та відношення вважають основними
в стереометрії;
про аксіоми стереометрії та наслідки з них;
що таке переріз прямої призми (піраміди) та як його побудувати;
як застосувати вивчені властивості на практиці та у розв’язуванні задач
C
B
D
ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ ТА АКСІОМИ СТЕРЕОМЕТРІЇ
Ш| Ви вже знаєте, що у стереометрії вивчають властивості фігур у просторі. Для цього, яків планіметрії, використовують аксіоматичний метод.
Спочатку обирають основні поняття - основні фігури та основні відношення. Їх тлумачать через приклади, не даючи означень. Також приймають без доведення вихідні істинні твердження - аксіоми. Всі інші поняття визначають, а всі інші Man. 39
твердження доводять.
Основними фігурами у просторі є точка, пряма і площина, а основними відношеннями - відношення «належати», «лежати між» і «накладання». Площину зображають здебільшого у вигляді паралелограма (мал. 39).
І Як і в планіметрії, точки позначають великими латинськими буквами А, В, С, ... , прямі - малими латинськими буквами а, Ь, с, ... . Площини позначають малими грецькими буквами а (альфа), в (бета), у (гамма)____
Введення у просторі нової геометричної фігури - площини - потребує уточнення основних відношень та розширення системи аксіом планіметрії.
Відношення «належати» розглядають не лише для точки і прямої -точка лежить на прямій, але й для точки і площини та прямої і площини - точка (пряма) лежить у площині.
Відношення «лежати між» для трьох будь-яких точок прямої не залежить від її розміщення в просторі, тому це відношення є основним і в стереометрії.
Відношення «накладання» у просторі розуміють як суміщення фігур відповідно всіма своїми точками (мал. 40).
Man. 40
Система аксіом стереометрії складається з двох частин. Перша з них включає всі аксіоми планіметрії. Вони виконуються в кожній площині простору.
1) властивості всіх фігур, які ви вивчали в планіметрії, справджуються в кожній площині простору;
2) якщо йдеться про дві точки (прямі), то ці точки (прямі) є різними, тобто вони не збігаються.
Друга частина системи аксіом стереометрії включає аксіоми, що характеризують взаємне розміщення точок, прямих і площин. Коротко називатимемо їх аксіомами стереометрії. Сформулюємо ці аксіоми.
Аксіома 1 (належності точки площині). Існують точки, що лежать у даній площині, і точки, що не лежать у ній.