Геометрия 10 класс Бурда академ (стр. 5 из 6)
На малюнку 41 ви бачите, що точка A лежить у площині а, а точка B не належить їй.
Коротко записуємо: А є а, В <? а.
аксіома 2 (існування і єдиності площини).
Через будь-які три точки, що не лежать на одній прямій, можна провести площину і до того ж тільки одну.
Завдяки цій властивості площину можна позначати трьома її точками. Наприклад, на малюнку 42 площина ABC - це площина а.
аксіома 3 (належності прямої площині).
Якщо дві точки прямої лежать у площині,
то й кожна точка цієї прямої лежить у даній площині.
Записуємо: якщо A є а і B є а, то AB лежить в а.
| В |
 |
| Мал. 41 |
Мал. 42
З наведених аксіом випливають такі наслідки.
Наслідок 1.
через пряму і точку, що не лежить на ній, можна провести площину і до того ж тільки одну.
Справді, будь-які дві точки даної прямої разом з даною точкою (мал. 43) утворюють три точки, що не лежать на одній прямій. За аксіомою 2, через них проходить площина і до того ж тільки одна. За аксіомою 3, дана пряма лежить у цій площині.
Наслідок 2.
через дві прямі, що перетинаються, можна провести площину і до того ж тільки одну.
Справді, якщо на кожній з даних прямих взяти по одній точці, відмінній від точки перетину даних прямих, та точку перетину (мал. 44), то утвориться три точки, що не лежать на одній прямій. За аксіомою 2, через них проходить площина і до того ж тільки одна. За аксіомою 3, кожна з даних прямих лежить у цій площині.
^ І Пам’ятайте, що площину можна задати:
1) трьома точками, які не лежать на одній прямій;
2) прямою і точкою, яка не лежить на ній;
3) двома прямими, що перетинаються.
аксіома 4 (про перетин двох площин). Якщо дві площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій, яка проходить через цю точку.
Наслідок 3.
через будь-яку пряму в просторі можна провести безліч площин.
Справді, через пряму а і точку А, що не лежить на ній, можна провести площину і до того ж тільки одну. Позначимо її а (мал. 45). Але, за аксіомою 1, у просторі існує безліч точок, що не лежать у площині а. Через
кожну із цих точок і дану пряму можна провести площину, відмінну від площини а. Тому таких площин безліч.
На малюнку 45 ви бачите, що через пряму а проходять площини а, в, Y і 5.
Задача.Дано пряму а і точку А, що не лежить на ній. Доведіть, що всі прямі, які проходять через точку А і перетинають пряму а, лежать в одній площині.
Розв’язання. Через дані точку А і пряму а, за наслідком 1 з аксіом стереометрії, проходить площина і до того ж тільки одна. Позначимо її а (мал. 46). Через точку А проведемо довільну пряму так, щоб вона перетинала пряму а. Позначимо точку їх перетину B. Точки А і B лежать у площині а. Тоді, за аксіомою 3, пряма АВ лежить у площині а. Аналогічно можна довести, що будь-яка інша пряма, що проходить через точку А і перетинає пряму а, лежить у площині а.
Рафаель Санті Леонардо да Вінчі в образі Платона
1. Термін «стереометрія» походить від грецьких слів стереоХ — просторовий і metpeo — вимірювати. Його автором вважають давньогрецького вченого Платона (427 — 347 до н. е.) — засновника філософської школи в Афінах, яка мала назву «Академія». Головною заслугою Платона в історії математики вважають те, що він вперше висунув і всіляко відстоював ідею про необхідність знання математики кожною освіченою людиною. На дверях його Академії був напис: «Нехай не входить сюди той, хто не знає геометрії».
2. Ви вже знаєте, що площину можна задати або трьома точками, що не лежать на одній прямій (твердження 1), або прямою і точкою, що не лежить на цій прямій (твердження 2), або двома прямими, що перетинаються (твердження 3). У підручнику перше твердження було прийнято як аксіома, а два інші доведені. Виявляється, що будь-яке із цих тверджень можна обрати за аксіому. Тоді два інших твердження можна довести, спираючись на обрану аксіому.
Наприклад, нехай аксіомою є твердження 3: «Через дві прямі, що перетинаються, можна провести єдину
площину». Доведемо, що через три точки, які не лежать на одній прямій, можна провести єдину площину (твердження 1).
Доведення. Нехай точки А, В і С не лежать на одній прямій. Проведемо прямі АВ і ВС. Ці прямі перетинаються в точці В. За прийнятою нами аксіомою, через прямі АВ і ВС можна провести єдину площину. Цій площині належать дані точки А, В і С.
Твердження 2 спробуйте довести самостійно.
3. Якщо з першого твердження випливає друге, а з другого перше, то такі твердження називаються рівносильними. Ми довели рівносильність тверджень 1 і 3. Взагалі, рівносильними є всі три наведені твердження. Доведіть це самостійно.
Щоб коротко записати, що деякі твердження рівносильні, їх позначають великими латинськими літерами. Якщо перше з розглянутих тверджень позначити T1, друге — T2, а третє — T3, тоді коротко можна записати: T1 о T2 о T3. Знак о заміняє слово «рівносильне».
1. Що вивчає стереометрія?
2. Назвіть основні геометричні фігури у просторі. Як їх позначають?
3. Які відношення вважають основними у стереометрії?
4. Сформулюйте аксіоми стереометрії.
5. Сформулюйте наслідки з аксіом стереометрії.
РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ
50'. Які поняття вводять без означень у стереометрії?
51’. Що таке аксіома? Теорема? Наведіть приклади.
52'. Які з наведених фігур є основними в стереометрії:
1) точка; 2) відрізок;
3) промінь; 4) пряма;
5) кут; 6) трикутник;
7) коло; 8) ромб;
9)куб; 10)куля;
11) площина; 12) призма?
53'. Які з наведених відношень є основними в стереометрії:
1) належати;
2) перетинати;
3) лежати між;
4) дорівнювати;
5) бути подібним;
6) накладання?
Мал. 47 Мал. 48
54’. На малюнках 47, 48 зображено площину а і прямі AB, BC, AD і CD.
1) які з точок A, B, C і D лежать у площині а?
2) яку іншу назву можна дати площині а?
3) які з прямих лежать у площині а?
55’. За даними на малюнках 49, 50 з’ясуйте:
1) які спільні точки мають площини а і в;
2) по якій прямій перетинаються площини а і в.
56°. Назвіть неозначувані поняття стереометрії.
57°. Які з наведених аксіом планіметрії справджуються у просторі:
1) через будь-які дві точки можна провести єдину пряму;
2) з будь-яких трьох точок прямої лише одна з них лежить між двома іншими;
3) через будь-яку точку, що не лежить на даній прямій, можна провести тільки одну пряму, паралельну даній;
4) на будь-якому промені від його початку можна відкласти відрізок заданої довжини і тільки один;
5) кожен відрізок має певну довжину, більшу за нуль;
6) довжина відрізка дорівнює сумі довжин його частин;
7) від будь-якого променя по один бік від нього можна відкласти кут заданої градусної міри і тільки один;
8) кожен кут має градусну міру, більшу за нуль і меншу від 180°;
9) градусна міра розгорнутого кута дорівнює 180°;
10) градусна міра кута дорівнює сумі градусних мір кутів, на які він розбивається променем, що проходить між його сторонами?
58°. Сформулюйте аксіоми планіметрії, які справджуються у просторі.
59°. За даними на малюнках 51, 52 визначте точки:
1) які лежать у площині а;
2) не лежать у площині в;
3) через які не проходить площина а;
4) через які проходить площина в.
Зробіть відповідний запис.
60°. У площині а позначте точки A, B, C і D, а поза нею — точки Mі N. Чи можна дати площині а таку іншу назву:
 |
| Мал. 51 Мал. 52 |
2) ADB ; 4) ACD ; 6) CNB; 8) MDC;
1) AN;
3) BCDM;
5) BAC;
7) DAB;
9) CAD ?
61°. Проведіть площину а. Позначте:
1) точки B і C, які лежать у площині а, і точку A, що не лежить у цій площині;
2) точки A і C, які лежать у площині а, і точку B, що не лежить у цій площині. Проведіть прямі AC, AB, BC. Які з цих прямих лежать у площині а?
Зробіть відповідний запис.
62°. Чи можуть пряма і площина мати тільки дві спільні точки? Чому?
63°. Пряма а і точка A лежать у площині а (мал. 53). Точки B і Cне лежать у даній площині.
Чи визначають площину, відмінну від площини а:
1) пряма а і точка B;
2) пряма а і точка C ;
3) прямі AB і AC ;
4) прямі AB і BC ?
Відповідь поясніть.
 |
| Мал. 53 Мал. 54 |
64°. За даними на малюнку 54 заповніть таблицю 3 за зразком, наведеним у другому її стовпчику.
| Таблиця 3 |