Геометрия 10 класс Билянина академ (стр. 3 из 8)
1) COD та AOB, AOC та BOD – вертикальні;
2) AOC та COD, COD та DOB, AOB та AOC, AOB та BOD – суміжні.
Якщо один з кутів при перетині двох прямих дорівнює 90, то всі інші – суміжні та вертикальні кути – також дорівнюють 90. Такі прямі називають взаємно перпендикулярними. Записують, наприклад, AD BC або a b.
Відстанню від точки А до прямої а (рис. 1.4) називають довжину відрізка ОА, перпендикулярного до прямої а, де точка О – основа перпендикуляра. Відстань від точки А до будьякої точки прямої а, відмінної від точки О, більша за відстань від точки А до прямої а. Тобто будь-який відрізок АХ, де Х – точка прямої а, відмінна від точки О, довший за відрізок АО.
Рис. 1.3 Рис. 1.4
Дві різні прямі а і b, які лежать в одній площині, називаються паралельними, якщо вони не мають жодної спільної точки. Коротко записують a b. Якщо прямі не паралельні (a b), то вони перетинаються (a b A).
Унаслідок перетину двох прямих третьою прямою утворюються вісім кутів (рис. 1.5) (прямі a і b можуть перетинатися, але пряма c через їхню точку перетину не проходить):
• внутрішні односторонні (кути 4 і 5, 3 і 6);
• внутрішні різносторонні (кути 3 і 5, 4 і 6);
• зовнішні односторонні (кути 1 і 8, 2 і 7);
•
зовнішні різносторонні (кути 1 і 7, 2 і 8); відповідні кути (кути 1 і 5, 2 і 6, 8 і 4, 7 і 3).Ознаки паралельності прямих:
1) Якщо при перетині двох прямих а і b третьою прямою внутрішні (або зовнішні) різносторонні кути рівні або внутрішні односторонні в сумі становлять 180, то а і b – паралельні.
2) Дві прямі, паралельні третій, паралель-
Рис. 1.5 ні між собою.
Т е о р е м а Ф а л е с а.
Якщо на одній стороні кута відкласти кілька рівних відрізків і через їхні кінці провести паралельні прямі, що перетинають другу сторону кута, то вони відітнуть на другій стороні теж рівні відрізки. Наприклад, якщо AA1BB1, причому ОА AВ, то ОА1 А1В1 (рис. 1.6).Коло і круг
Круг і коло ми зустрічаємо повсюди. Кругом з центром О і радіусом R називають фігуру, яка утворена всіма точками площини, які віддалені від точки O на відстань, не більшу за R. Круг обмежений колом. Колом із центром О і радіусом R називають множину точок площини, віддалених від точки O на відстань, що дорівнює R (рис. 1.7, а). Відрізки, що з’єднують центр з точками кола та мають довжину R, називають радіусами кола (круга).Частини круга, на які він ділиться двома радіусами, називають круговими секторами (рис. 1.7, б).
а б
Рис. 1.7
Хорда – відрізок, що з’єднує дві точки кола (MK), ділить круг на два сегменти, а коло – на дві дуги. Діаметр – найбільша хорда кола (CD).
Через три точки, що не лежать на одній прямій, проходить єдине коло. Діаметр, перпендикулярний до хорди, ділить навпіл цю хорду і обидві дуги, які стягуються нею, і навпаки, якщо діаметр проведено через середину хорди, то він перпендикулярний до неї і ділить навпіл дугу, яку стягує ця хорда (рис. 1.8, а).
Дуги, що містяться між паралельними хордами, рівні між собою. Рівні дуги стягуються рівними хордами, і навпаки, рівні хорди стягують рівні дуги.
Рівні хорди однаково віддалені від центра, і навпаки, хорди, однаково віддалені від центра, рівні між собою. Більша з двох хорд менше віддалена від центра, і навпаки, з двох хорд більша та, яка менше віддалена від центра (рис. 1.8, а).
Яке розміщення може мати пряма з колом?
Розглянемо коло із центром О і пряму l (рис. 1.8, б). З точки О проведемо перпендикуляр до прямої l. Нехай А – основа цього перпендикуляра. Можливі три випадки: точка А міститься поза колом (А3), на колі (А2) і всередині кола (А1). У кожному із цих випадків коло і пряма l або не мають спільних точок, або мають одну спільну точку А2 (l2 – дотична до кола), або мають дві спільні точки (l1 – січна).
Пряма, що проходить через точку кола, є дотичною до кола тоді і тільки тоді, коли вона перпендикулярна до радіуса, проведеного в цю точку. Якщо дотична паралельна хорді кола, то точка дотику ділить навпіл дугу, яку стягує хорда (рис. 1.8, в;
АМ СВ,
).Якщо з однієї точки до кола проведено дві дотичні, то відрізки цих дотичних (від точок дотику до даної точки) рівні між собою, а промінь, проведений через дану точку і центр кола, ділить навпіл кут між дотичними (рис. 1.8, в; АМ AN, MAO OAN).
Вписаним кутом у коло називають кут, утворений двома хордами, що виходять з однієї точки на колі (рис. 1.9). Вписаний кут вимірюється половиною дуги, на яку він спирається. Вписані кути, що спираються на одну дугу, між собою рівні. Вписаний кут, що спирається на півколо (на діаметр), – прямий.Кут з вершиною у центрі кола називається центральним кутом. Центральний кут, сторони якого перетинають коло в тих самих точках, що і вписаний, називається відповідним центральним кутом до вписаного (рис. 1.10). Міра вписаного кута дорівнює половині міри відповідного центрального або доповнює його половину до 180. Кут, утворений хордою і дотичною, яка проходить через кінець хорди, вимірюється половиною дуги, що міститься між сторонами цього кута (рис. 1.11);
. Кут, утворений двома хордами, що перетина-ються всередині кола, вимірюється півсумою двох дуг, одна з яких міститься між сторонами цього кута, а друга – між продовженнями цих сторін.
Кут, утворений двома дотичними, називається описаним (рис. 1.8, в; MAN). Описаний кут вимірюється піврізницею двох дуг, що містяться між його сторон ам и
.
Довжину кола знаходять за формулою: C d 2R, де d – діаметр кола, R – радіус кола, а довжину дуги кола – за формулою: , де – градусна міра відповідного центрального кута. Площа круга: 
, площа кругового сектора:, де R – радіус круга, – градусна міра відповідного
центрального кута. Площа сегмента:
, де – гра-дусна міра центрального кута, який містить дугу цього кругового сегмента, а S – площа трикутника з вершинами в центрі круга та на кінцях радіусів, що обмежують відповідний сектор. Знак «–» треба брати, коли < 180, а знак « + » – коли > 180.
Многокутники
Многокутником називається проста замкнена ламана. Наприклад, многокутником А1А2…Аn називається лінія, яку отримують при послідовному сполученні n різних точок А1, А2, …, Аn відрізками так, щоб кожна точка була сполучена з наступною, а остання з першою (рис. 1.12). Розрізняють многокутники плоскі й неплоскі. Плоский многокутник – частина площини, обмежена многокутником.
а б в г д
Рис. 1.12
Многокутник може бути опуклий або не опуклий. Многокутник опуклий, якщо він лежить в одній півплощині відносно кожної прямої, що проходить через дві його сусідні вершини (рис. 1.12, б, г, д).
Многокутники називають рівними, якщо вони при накладанні суміщаються. Для опуклого n-кутника сума внутрішніх кутів дорівнює 180(n – 2), а кількість діагоналей будь-якого n-кутника дорівнює
. Якщо всі сторони опуклого многокутника рівні між собою і всі кути теж рівні між собою, то його називають правильним (рис. 1.12, д). Якщо всі вершини многокутника лежать на деякому колі, то він називається вписаним у це коло (рис. 1.13, а). Якщо всі сторони многокутника дотикаються до деякого кола, то він називається описаним навколо кола (рис. 1.13, б). За кількістю сторін n-кутника йому дають назву. Наприклад, трикутник (n 3), чотирикутник