Геометрия 10 класс Билянина академ (стр. 4 из 8)
(n 4), п’ятикутник (n 5) і т. д.
а б
Рис. 1.13
Як побудувати правильний n-кутник?
Якщо коло поділити на n рівних частин і точки послідовно сполучити відрізками, то дістанемо правильний n-кутник, вписаний у коло (рис. 1.14).
Якщо коло поділити на n рівних частин і через точки поділу провести дотичні до кола, то відрізки цих дотичних утворять правильний n-кутник, описаний навколо кола (рис. 1.15).
Навколо кожного правильного многокутника можна описати коло або в кожний правильний многокутник можна вписати коло.
У правильному многокутнику центри описаного і вписаного кіл збігаються. Спільний центр описаного і вписаного кіл називається центром правильного многокутника. Радіус вписаного кола називають апофемою правильного многокутника.
Кут, утворений двома радіусами, проведеними через суміжні вершини правильного многокутника, називається його цент ральним кутом. Усі центральні кути правильного многокутника рівні між собою, вони дорівнюють
, де n – кількість сторін (кутів) многокутника.У правильному n-кутнику, як і в довільному n-кутнику, сума всіх кутів (внутрішніх) становить 180(n – 2). Тому кожний його кут визначається за формулою
.Коло, вписане в правильний многокутник, дотикається до його сторін в їхніх серединах. Центр кола, вписаного в правильний многокутник, є точкою перетину серединних перпендикулярів до його сторін (рис. 1.15).
Якщо сторона правильного многокутника дорівнює а, радіус вписаного в нього кола – r, а радіус описаного навколо нього кола – R, то між ними існує взаємозв’язок, що виражається формулами:
Найпростішим многокутником є трикутник. У будь-який трикутник можна вписати коло, причому тільки одне. На рисунку 1.16, а зображено коло із центром О, вписане в трикутник АВС, r OM – його радіус. Центр кола, вписаного в трикутник, є точкою перетину його бісектрис і знаходиться всередині трикутника. Оскільки площу трикутника знаходять за формулою S pr, де р – півпериметр трикутника, то звідси
, де а, b, с – сторони трикутника.Центр кола, вписаного в трикутник, рівновіддалений від його сторін.
а б
Рис. 1.16
Чи можна в будь-який чотирикутник вписати коло?
Відповідь. Не можна. У чотирикутник можна вписати коло за умови, що суми довжин його протилежних сторін рівні.
Навколо довільного трикутника можна описати коло, причому тільки одне (рис. 1.16, б). Центр кола, описаного навколо трикутника, є точкою перетину серединних перпендикулярів, проведених до його сторін. Центр кола О, описаного навколо трикутника АВС, рівновіддалений від його вершин.
На рисунку 1.16, б зображено коло із центром О, описане навколо трикутника АВС, R OA – його радіус. Якщо радіус описаного кола R, сторони трикутника, вписаного в коло, а, b і с,
то
, де p – півпериметр трикут-ника.
Чи можна описати коло навколо довільного чотирикутника?
Відповідь. Не можна. Навколо чотирикутника можна описати коло тільки тоді, коли суми протилежних кутів дорівнюють 180.
Трикутник і його елементи
Трикутником називається фігура, яка складається з трьох точок, що не лежать на одній прямій, і трьох відрізків, що попарно сполучають ці точки. Розглянемо ABC (рис. 1.17), у якому виділяють шість основних елементів: три внутрішні кути , , і три відпоРис. 1.17 відно протилежні їм сторони а, b, c. Трикутник називається тупокутним, прямокутним або гострокутним, якщо його найбільший внутрішній кут відповідно більший, дорівнює або менший за 90.
Трикутник називається рівнобедреним, якщо в нього дві сторони рівні (бічні сторони). Основою рівнобедреного трикутника є та сторона, яка не дорівнює жодній з інших двох рівних сторін.
Трикутник, усі сторони якого рівні, називається рівностороннім, або правильним.
Співвідношення між сторонами і кутами трикутника:
– проти більшої сторони лежить більший кут, і навпаки; – проти рівних сторін лежать рівні кути;
– теорема синусів:
–
теорема косинусів: (квадрат будь-якої сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін без подвоєного добутку цих сторін на косинус кута між ними).
Трикутник можна визначити будь-якою трійкою таких основних елементів: або двома сторонами і кутом між ними, або однією стороною і двома кутами, або трьома сторонами.
Наприклад, ABC зі сторонами а, b, c можна задати так:
1) a, b i C; b, c i A; a, c i B; 2) a, B i C; b, A i C; c, A i B; 3) a, b і c.
Співвідношення між внутрішніми і зовнішніми кутами трикутника: будь-який зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох внутрішніх кутів, не суміжних з ним.
З трьох відрізків можна утворити трикутник тоді і тільки тоді, коли будь-яка його сторона більша за суму і менша за різницю двох інших його сторін. У будь-якому трикутнику можна провести три медіани, три бісектриси і три висоти.
Властивості бісектриси кута трикутника: бісектриси трикутника перетинаються в одній точці, яка лежить усередині трикутника і є центром вписаного в трикутник кола. Бісектриса ділить протилежну сторону на частини, пропорційні прилеглим до неї сторонам (рис. 1.18; BL – бісектриса, AL : LC AB : BC).Основні властивості медіан трикутника:
1. Медіани трикутника перетинаються в одній точці, що лежить усередині трикутника.
2. Медіани трикутника точкою їхнього перетину діляться у відношенні 2 : 1 (рахуючи від вершин трикутника).
3. Медіана ділить трикутник на два трикутники, площі яких рівні (рис. 1.18; BK – медіана,
).4. Три медіани трикутника ділять трикутник на шість трикутників, площі яких рівні.
Прямі, на яких лежать висоти трикутника, перетинаються в одній точці – ортоцентрі трикутника, яка може міститися у внутрішній або зовнішній області трикутника. Висоти трикутника, проведені до сторін трикутника а, b і с, позначаються ha, hb і hcвідповідно. Висота трикутника ha визначається через сторони трикутника за формулою:
Медіана трикутника ma, проведена до сторони а, визначається через сторони трикутника за формулою:
.У кожному трикутнику можна побудувати три середні лінії – відрізки, які сполучають середини двох сторін трикутника. Середня лінія трикутника паралельна третій стороні трикутника та дорівнює її половині. Середня лінія трикутника відтинає від трикутника подібний трикутник. Площа меншого трикутника відноситься до площі основного трикутника як 1 : 4.
Властивості рівнобедреного трикутника: кути при основі трикутника рівні; висота, проведена до основи, є також бісектрисою і медіаною.
Властивості рівностороннього трикутника: усі кути рівні (кожний кут дорівнює 60); кожна з трьох його висот є також бісектрисою і медіаною; центр кола, описаного навколо трикутника, збігається із центром кола, вписаного в нього.
Прямокутний трикутник має сторону, яка лежить проти прямого кута, – гіпотенузу (с) та дві сторони, які утворюють прямий кут, – катети (а і b) (рис. 1.19). Сторони прямокутного трикутника а, b і c (с – гіпотенуза) зв’язані між собою співвідношенням, що називається теоремою Піфагора:с2 а2 + b2. Воно читається так: квадрат довжини гіпотенузи дорівнює сумі квадратів довжин катетів.
Властивості прямокутного трикутника:
1) Катет є середнім пропорційним між гіпотенузою і проекцією цього катета на гіпотенузу: b2 bс с і а2 ас с (рис. 1.19).
2) Висота, проведена з вершини прямого кута, є середнім пропорційним між проекціями катетів на гіпотенузу: h2 bс ас.
3) Центр кола, описаного навколо прямокутного трикутника, лежить на середині гіпотенузи.