Геометрия 10 класс Билянина академ (стр. 7 из 8)

Задача 1.

Бісектриса кута прямокутника ділить більшу сторону на два відрізки 7 см і 9 см. Знайдіть периметр цього прямокутника.

Дано: ABCD – прямокутник;

AK – бісектриса, K  BC; ВK  7 см, KC  9 см (або ВK  9 см, KC  7 см).

Знайти: P_ABCD.

AK – бісектриса, тому паралельність протилежних

2  3. Отже 1  3.сторін прямокутника та їх

У ABK: 1  3, тому перетин січною (AK – бісекABK – рівнобедрений і триса), встановлюємо рівність

AB  ВK.двох кутів трикутника. Це

1) Якщо ВK  7 см, визначає вид трикутника –

KC  9 см, то AB  ВK  7 см рівнобедрений, а значить, рів-

і ВC  16 см.ність двох сторін. Тобто АB 

Р_ABCD  (7 + 16) · 2 46 (см). BK.

2) Якщо ВK  9 см, Якщо ВK  7 см, то АВ  KC  7 см, то АВ  ВK  9 см  7 см, ВС  7 + 9  16 (см), і ВС  16 см.тому периметр:

Р_ABCD  (9 + 16) · 2  50 (см). Р  (7 + 16) · 2  46 (см).

Якщо ВK  9 см, то АВ 

Відповідь. 46 см або 50 см.  9 см, ВС  7 + 9  16 (см), тому периметр:

Р  (9 + 16) · 2  50 (см). Отже, периметр прямокутника може дорівнювати або 46 см, або 50 см.

Ця задача є опорною, оскільки на такій ідеї будується багато задач і для паралелограма, і для трапеції. У цих фігурах бісектриса кута відтинає завжди рівнобедрений трикутник.

Зауважимо, що скорочене позначення кутів, у вигляді 1, 2, …, спрощує записи та економить час, тому в таких випадках ним користуватися зручніше.

Як бачимо, у процесі розв’язування задачі 1 використовуються лише відомі геометричні твердження та проводяться відповідні обчислення. Причому для кожної геометричної задачі такі міркування свої.

Суть аналітичного методу полягає в тому, що, виходячи з вимоги (висновку) твердження (теореми чи задачі) і спираючись на відомі твердження, будуємо ланцюг логічних міркувань, який показує, що вимога є наслідком умови. Наведемо приклад.

Доведіть, що середини сторін будьякого опуклого чотирикутника є вершинами паралелограма.

Дано: ABCD – чотирикутник;

K  AB, AK  KB; L  BC, BL  LC; Q  CD, CQ  QD; P  AD, AP  PD.

Довести: KLQP – паралелограм.

Зауважимо, що доведення того, що чотирикутник, вершини якого є серединами довільного опуклого чотирикутника, є паралелограмом, можна проводити й іншими методами.

Синтетичний та аналітичний методи ще називають прямими методами розв’язування математичних задач.

Отже, щоб розв’язати задачу прямим методом, слід розпочинати з аналізу змісту задачі (від якого залежить вибір методу розв’язування). Далі допомогти собі створенням моделі у вигляді рисунка і продовжити міркувати над кожною дією, які в сукупності утворюють ланцюг дій, що ведуть або від умови до вимоги, або від вимоги до умови.

Суть методу від супротивного полягає в тому, що, маючи твердження, будуємо нове, заперечивши висновок попереднього. Утворюється протилежне твердження. Виходячи з висновку протилежного твердження, будуємо «ланцюг» істинних тверджень, поки не отримаємо твердження, яке суперечить або умові, або відомій аксіомі чи теоремі, або припущенню. Отже, отримуємо висновок, що протилежне твердження хибне, а тому початкове – істинне (тут діє логічний закон: з двох протилежних тверджень одне істинне, друге хибне, третього не дано). Розглянемо приклад.

Доведіть твердження: якщо дві прямі паралельні третій, то вони паралельні між собою.

Будуємо протилежне твердження: існують дві прямі паралельні третій і

не паралельні між собою.

Математичну задачу вважають розв’язаною, якщо: 1) записано відповідь у вигляді числа, виразу, вказано алгоритм побудови рисунка, коли це задача на обчислення, побудову чи дослідження; 2) підтверджено сформульоване в задачі твердження, коли це задача на доведення.

Метод від супротивного називають непрямим методом розв’язування математичних задач.

Розглянемо деякі інші методи розв’язування геометричних задач, які поділяють на види за використанням математичного апарату.

Алгебраїчний метод розв’язування задач

Розв’язуючи задачу алгебраїчним методом, слід приділити увагу таким етапам:

1. Моделювання тексту задачі за допомогою рисунка (у більшості випадків).

2. Введення позначень шуканих величин або тих, які приводять до шуканих (найчастіше літерами латинського алфавіту).

3. Складання рівняння або системи рівнянь, використовуючи введені позначення та відомі геометричні співвідношення між шуканими і даними величинами.

4. Розв’язування складеного рівняння або системи рівнянь. Повернення до введених позначень і визначення шуканих геометричних величин. За потреби, виконання дослідження знайдених розв’язків.

Вам доводилося неодноразово розв’язувати геометричні задачі алгебраїчними методами. Задачі, у яких задано залежність між двома вимірами, зводяться до розв’язування рівняння. Наприклад, одна зі сторін паралелограма на 3 см довша за іншу, а периметр – 30 см. Потрібно знайти довжини сторін паралелограма. Тоді, увівши змінну х як довжину сторони цього паралелограма, маємо довжину другої сторони (х – 3). Враховуючи означення периметра паралелограма та відоме його значення, отримуємо рівняння:

Наведемо ще приклади розв’язування задач алгебраїчним методом.