Геометрия 10 класс Билянина академ (стр. 8 из 8)
Сторони трикутника дорівнюють 13 см, 14 см і 15 см. Обчисліть висоту, проведену до сторони, яка має довжину 14 см.
Розв’язання Чому саме так?
Нехай a, b, c – сторони деякого ABC, причому a 13 см, b 14 см, c 15 см. a < b і b < c. hb – висота,
проведена до серед ньої сторони.
За формулою Герона: а за іншою формулою:
Маючи три сторони трикутника a, b, c, можна знайти його площу за формулою Герона:,
де .
З іншої боку, площу трикутника можна знайти за формулами:
 Зауважимо, що хоча під час розв’язування задачі 6 використовувалося алгебраїчне рівняння, однак більш суттєвим у розв’язуванні задачі є міркування про площу фігури, тому такий метод отримав назву метод площ. Задача 7. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 3 см і 6 см. Знайдіть довжину бісектриси прямого кута. Дано: АВС (C 90); CK – бісектриса; BC 3 см, AC 6 см. Знайти: CK. Розв’язання Чому саме так? |
де hi – висота, проведена до Нехай АВС – даний прямокутний трикутник (C 90), у якому BC 3 см, AC 6 см і CK – бісектриса прямого кута.Введемо позначення: CK x. Знайдемо площу АВС двома різними способами:
1) (см2);
2) SABC SBCK + SACK; Площу АВС можна знайти за формулою , де а і b – два катети.
Бісектриса розділила АВС на два трикутники, площі яких невідомі. Їхні площі можна знай ти за формулою:
,
де т і п – сторони трикутника, а – кут між ними, тобто
45.
,
Метод векторів
Щоб застосовувати метод векторів до розв’язування задачі, потрібно виконати такі дії:
1. Перевести задачу на мову векторів, тобто розглянути деякі дані в задачі відрізки як вектори та скласти векторну рівність.
2. Здійснити перетворення для векторної рівності, користуючися відповідними властивостями дій над векторами та відомими векторними рівностями.
3. Повернутися від векторної мови до геометричної.
4. Записати відповідь.
Метод векторів найчастіше використовується під час розв ’язування задач, у яких вимагається довести: паралельність прямих (відрізків), поділ відрізка в певному відношенні; що три точки лежать на одній прямій; що даний чотирикутник – паралелограм (ромб, прямокутник, квадрат, трапеція). Проілюструємо суть цього методу на прикладі розв’язування задачі.
Задача 8. 
Доведіть, що середини сторін будьякого опуклого чотирикутника є вершинами паралелограма.Дано: ABCD – чотирикутник;
K AB, AK KB;
L BC, BL LC;
Q CD, CQ QD; P AD, AP PD.
Довести: KLQP – паралелограм.
| Доведення | Чому саме так? |
1. Переведемо задачу на мову векторів, замінивши від-  різки векторами: , , , , , , , , . 2. Скористаємося правилом трикутника для додавання векторів:  (L – середина BC), отримуємо рівність:  тори однаково напрямлені, лежать на паралельних прямих і мають однакову довжину. Це доводить, що KLQP – паралелограм. Щ. в. д. |  Перевівши задачу на мову векторів, отримуємо вимогу задачі: довести рівність векторів . Скориставшися правилом трикутника для знаходження суми векторів, маємо:  . вимагалося довести. |
Метод координат
Розв’язуючи задачу координатним методом, слід виконати такі дії:
1. Записати геометричну задачу мовою координат.
2. Перетворити вираз чи обчислити його значення.
3. Перевести знайдений результат на мову геометрії.
4. Записати відповідь.
Методом координат найчастіше розв’язують задачі:
– на відшукання геометричних місць точок;
– на доведення залежностей між лінійними елементами геометричних фігур.
Розв’язуючи задачу методом координат, потрібно раціонально вибрати систему координат: дану фігуру слід розмістити відносно осей координат так, щоб якнайбільше координат потрібних точок дорівнювало нулю, а також одному і тому самому чис-лу. Наприклад, координати вершин
Рис. 1.35
прямокутника ABCD можна вибрати так, як на рисунку 1.35: , , , .
Проілюструємо суть методу на прикладі.
Задача 9.Доведіть, що коли в паралелог рама діагоналі рівні, то він прямокутник.
Доведення
Розмістимо паралелограм у системі координат так, щоб його вершини мали координати: , , ,
, причому a > 0, b 0, c > 0. За умовою AС BD. Виразимо відстані між точками А і С, В і D через їхні координати:
, .
Тоді , або
, звідси .
Оскільки , то , а це означає, що точка ле-
жить на осі Oy. Тому кут BAD прямий. Звідси випливає, що паралелограм ABCD – прямокутник.
Метод геометричних перетворень: метод повороту, метод симетрії, метод паралельного перенесення, метод гомотетії.
Розв’язуючи задачі методом геометричних перетворень, розглядають поряд з даними фігурами нові фігури, які отримали з даних за допомогою певного перетворення. З’ясовують властивості нових фігур, переносять ці властивості на дані фігури, а далі – знаходять спосіб розв’язування задачі.
Кажуть, що задачі, які розв’язані методом векторів, методом координат, методом геометричних переміщень, методом площ та іншими методами, у яких використовується більше властивостей геометричних фігур, розв’язані геометричними методами.