Геометрия 10 класс Билянина академ (стр. 1 из 8)

Шановний старшокласнику!

Науково-технічний прогрес досить стрімко змінює характер існуючих професій і приводить до появи нових, які більшою мірою вимагають уважності, кмітливості та швидкості реакції працюючих. Отже, найважливішим завданням навчання стає виховання логіки мислення, засвоєння загальних методів наукового дослідження.

Звичайно, розв’язання цієї проблеми значною мірою залежить від стану засвоєння математики. Тому математика – базова дисципліна. Вона – основа для успішного вивчення і засвоєння багатьох спеціальних дисциплін у різних галузях.

Пропонуємо тобі новий підручник «Геометрія. 10 клас» академічного рівня, який містить навчально-практичний матеріал вивчення навколишнього світу, адже геометрія як наука – один із специфічних засобів його відображення.

Ти вже знаєш, що шкільний курс геометрії розділено на 2 частини: планіметрію та стереометрію. Цей підручник є початком вивчення стереометрії – науки, яка вивчає фігури та їхні властивості в просторі. Він складається із 7 модулів, структура яких є такою: назва модуля, його короткий зміст і характеристика цілей вивчення; виклад теоретичного матеріалу зі зразками розв’язання; вправи, складені відповідно до чотирьох рівнів складності; задачі прикладного змісту; історичний матеріал у рубриці «З літопису геометрії»; запитання для самоконтролю; тест для самоконтролю.

Зразки розв’язання задач мають додаткове пояснення у формі «Чому саме так?». Це допоможе тобі орієнтуватися в змісті задачі та вибирати спосіб її розв’язування.

Модулі 1 і 7 містять матеріали для узагальнення та систематизації відповідних курсів планіметрії та вивченого в 10 класі. Тому виклад їх теоретичного матеріалу носить більш інформаційний характер, ніж усі інші модулі. Розрізнити рівень складності задач початкового, середнього, достатнього і високого рівнів допоможуть відповідні позначки: «», «», «^», «^». У більшості випадків задачі початкового та середнього рівнів ми пропонуємо в тестовій формі. Такі задачі можна виконувати усно або письмово.

Запитання та тести самоконтролю допоможуть тобі повторити та закріпити вивчене в модулі, підготуватися до певного виду контро лю. Окремі завдання рубрики «Прикладні задачі» ми наводимо або з вказівками, або з повним розв’язанням. Життя ставитиме перед тобою нові задачі, але сподіваємося, що твої знання, набуті в школі, дадуть змогу їх завжди розв’язувати якісно.

Рубрика «З літопису геометрії» вміщає історичний розвиток геометрії в Стародавній Греції, Стародавньому Єгипті, Азії, Європі тощо. Очевидно, що геометрія є наукою не штучною, а природною і необхідною для життя. Вона виникла з потреб людини. Геометрія – це практика, логіка, фантазія! За словами М. В. Ломоносова, «геомет рія – володарка всіх розумових винаходів».

Бажаємо тобі успіхів у навчанні!

Автори 3

У навколишньому світі нас оточують різні предмети, кожний з яких має багато характеристик: колір, твердість, хімічний склад, розміри, форму і т. д. Наприклад, круг радіуса 10 см можна вирізати з металевого листа або з аркуша паперу. Зрозуміло, що обидва предмети мають і однакові характерні властивості, і різні. Щоб вивчити певні властивості того чи іншого предмета, у школі вивчаються різні шкільні дисципліни. Якщо порівнювати вищеназвані предмети за формою та кількісними характеристиками, то ці фігури однакові – два круги радіуса 10 см. Шкільні дисципліни, які вивчають просторову форму й кількісні характеристики предметів і явищ навколишнього середовища, належать до математичних – алгебра і геометрія. Геометрія – це наука про просторову форму й кількісні характеристики предметів реального світу.

Інші характеристики предметів навколишнього середовища вивчають інші шкільні дисципліни. Якщо під час вивчення предмета реального світу не враховувати його характеристики, крім просторової форми і кількісних вимірів, то отримаємо абстрактний об’єкт, який називають геометричною фігурою.

§ 1.1.

Про логічну побудову планіметрії. Основні поняття. Аксіоми планіметрії

Слово «геометрія» – грецького походження, що в перекладі українською мовою означає землемірство (назва походить від вимірювань на місцевості). Геометрія, яку вивчають у школі, називається евклідовою за ім’ям давньогрецького вченого Евкліда (див. рубрику «З літопису геометрії» до Модуля 1). Шкільна геометрія складається з двох частин: планіметрії і стереометрії. З планіметрією ви ознайомилися в основній школі, а стереометрію вивчатимете в старших класах.

Планіметрія – це розділ геометрії, у якому вивчаються геометричні фігури на площині (рис. 1.1). Стереометрія – це розділ геометрії, у якому вивчаються фігури в просторі.

Рис. 1.1

Геометричні фігури – це абстрактні фігури, які нагадують предмети, що нас оточують. Щоб відрізняти одну геометричну фігуру (чи поняття) від іншої, їх описують у вигляді твердження, яке називають означенням.

Означення – це твердження, яке описує істотні властивості предмета (поняття), що дає змогу відрізнити його від інших. Як з’ясувалося, означити всі геометричні фігури неможливо. Наприклад, точка, пряма, площина. Їх називають неозначуваними, або початковими (з яких усе починається), або основними, як називали їх у планіметрії.

Логічну побудову планіметрії можна описати за такими етапами.

1. Вибір геометричних понять, які називають основними поняттями (абстрактних фігур).

2. Формулювання основних властивостей для цих геометричних понять за допомогою тверджень, які вважаються істинними без доведень.

3. Побудова інших понять, які означуються через основні поняття та їхні властивості, та тверджень, істинність яких встановлюється шляхом доведень, опираючись на відомі.

Таку побудову науки називають аксіоматичною. Її назва походить від слова «аксіома». Це слово грецького походження, що в перекладі українською мовою означає повага, авторитет, незаперечна істина. Аксіома – це твердження, яке приймається істинним без доведення. Основні властивості найпростіших геометричних фігур, які вважають істинними без доведення і які є вихідними під час доведення інших властивостей, називають аксіомами гео метрії.

Для шкільного курсу планіметрії визначено:

1. Основні геометричні фігури (поняття) – точка, пряма.

(Точка – найпростіша геометрична фігура. Усі інші геометричні фігури складаються з точок, у тому числі й пряма.)

2. Аксіоми планіметрії – це основні властивості найпростіших геометричних фігур.

3. Систему означень планіметричних фігур і теорем, що виражають їхні властивості.

До означуваних понять у геометрії відносять поняття відрізка, променя, трикутника тощо, оскільки для них існують пояснення «що це таке?». Означуваних понять багато. Наведемо приклад.

Нехай на прямій а задано дві різні точки А і В. Фігуру, що складається з усіх точок прямої а, які лежать між точками А і В, включаючи точки А і В, називають відрізком (рис. 1.2). Точки А і В називаються кінцями відрізка, а всі інші точки – внутрішніми точками відрізка. Таким чином відрізок – означуване

поняття. Рис. 1.2 АКСІОМИ ПЛАНІМЕТРІЇ

№	Назва аксіоми	Зміст аксіоми	Наслідки з аксіом
І	Аксіоми належності І1.	І1.. Яка б не була пряма, існують точки, що належать цій прямій, і точки, що не належать їй. І2.. Через будь-які дві точки можна провести пряму і до того ж тільки одну	Дві різні прямі або не перетинаються, або перетинаються тільки в одній точці
ІІ	Аксіоми розміщення ІІ1.	ІІ1. З трьох точок на прямій одна і тільки одна лежить між двома іншими. ІІ2. Пряма розбиває площину на дві півплощини	Якщо кінці будьякого від різка належать одній півплощині, то відрізок не перетинає пряму. Якщо кінці відрізка належать різним півплощинам, то відрізок перетинає пряму
ІІІ	Аксіоми вимірювання ІІІ1.	ІІІ1. Кожний відрізок має певну довжину, більшу від нуля. Дов жина відрізка дорівнює сумі довжин частин, на які він розбивається будь-якою його точкою. ІІІ2. Кожний кут має певну градусну міру, більшу від нуля. Розгорнутий кут дорівнює 180. Градусна міра кута дорівнює сумі градусних мір кутів, на які він розбивається будь-яким променем, що проходить між його сторонами	Якщо три точки А, В і С лежать на одній прямій, то точка С лежатиме між точками А і В у випадку, коли АВ  АС + СВ. Якщо від даної півпрямої відкласти в одну й ту саму півплощину два кути, то сторона меншого кута, відмінна від даної півпрямої, проходитиме між сторонами більшого кута

Продовження таблиці