Двухсеточный метод решения уравнения Лапласа (стр. 2 из 3)
- коэффициент теплоотдачи поверхности ограждения, 
; 
- начальная температура, град.Решение будем искать методом Зейделя
(1) 
(3)Граничные условия
Г1:
Г2:
Г3:
Г4:
2.2. Метод Зейделя.
Прямоугольную декартову систему координат расположим, как показано на Рис.1.
Задачу (1) (3) будем решать конечно-разностным методом с помощью явной схемы.
Условие устойчивости явной схемы имеет вид
где
, если h=0.004, то 
Расчет проводится до тех пор, пока температурное поле не выйдет на стационар, т.е. когда норма разности (равномерная норма) между соседними итерациями по времени не окажется меньше заданной погрешности
. В численных экспериментах полагали =0,0001.И вместо (1) (3) получим разностные уравнения
1 этап
Начальное приближение 
2 этап
Для последующих итераций
2.1 (j=0)
Сперва находим значение в точке (0,0)
Затем находи значение в точках (i,0), i=1..n-1
Затем находим значение в точке (n,0)
2.2 (j=1..n-1)
Сперва находим значение в точке (0,j)
Затем находи значение в точках (i,j), i=1..n-1
Затем находим значение в точке (n,j)
2.3 (j=n)
Сперва находим значение в точке (0,n)
Затем находи значение в точках (i,n), i=1..n-1
Затем находим значение в точке (n,n)
3 этап
Вычисляем
, пробегая по всем i,j.И проверяем
, если >= e, то переходим к этапу 2 до тех пор пока 
<e.4 этап
Получили приближенное решение уравнения Лапласа методом Зейделя.
2.3. Метод Гаусса.
Для решения уравнения (1) (3)
нужна матрица А размерности 
, (n+1)2неизвестных и (n+1)2 уравнений. Ax=b, где 
Но в нашем случае
, и можем использовать матрицу размерности 
, (n+1) неизвестных и (n+1) уравнений. 
В нашем случае
С помощью метода Гаусса находим решения системы.
2.4 Двухсеточный метод.
Алгоритм нашего метода
Этап 1.
Задается
(например =0).Этап 2.
Вычисляется невязка
.Этап 3.
, где 
Рестрикция (Restriction) с мелкой сетки на грубую. 
Этап 4.
Решаем
прямым методом.Этап 5.
Вычисляем поправки с помощью пролонгации (Prolongation)
Этап 6.
, вычисляем 
Этап 7.
Проверяем
- заданная точность.Этап 8.
Если точность достигается, то конец счета, если же нет, то k:=k+1 и идем во 2-ой этап.
Глава 3. Расчет тестовой задачи.
Для расчета мы используем однородную наружную ограждающую конструкцию, где по вей области
. Размером 0,2×0,2 м2. Наружная температура считается постоянной 
. Внутренняя температура в помещении считается постоянной 
. Коэффициент теплоотдачи наружной поверхности ограждения 
, коэффициент теплоотдачи внутренней поверхности ограждения 
. 
3.1. Точное решение.
Для решения точного решения используем одномерную задачу с граничными условиями. Наружная температура считается постоянной
. Внутренняя температура в помещении считается постоянной 
. Коэффициент теплоотдачи наружной поверхности ограждения 
, коэффициент теплоотдачи внутренней поверхности ограждения 
. 
вычисляется однозначно. 
- точное решение (функция одной переменной).Точное решение.
3.2. Результаты вычислений.
Данная задача нами решена двумя способами: обычным методом Зейделя и двухсеточным методом.
Результаты вычислений простым методом Зейделя.