Двухсеточный метод решения уравнения Лапласа (стр. 1 из 3)

Министерство образования и науки РФ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Якутский государственный университет им. М.К.Аммосова»

Институт математики и информатики

Кафедра высшей математики

Сивцев Иван Иванович

Двухсеточный метод решения уравнения Лапласа

специальность 010501 «Прикладная математика и информатика»

Дипломная работа

Руководитель: к.ф.-м.н., профессор кафедры ВМ Шадрин В.Ю.

Якутск 2010 г.

Оглавление.

Введение.

Глава 1. Температурное поле наружной ограждающей конструкции.

1.1. Разностные схемы.

Глава 2. Расчет температурного поля.

2.1. Математическая постановка задачи.

2.2. Метод Зейделя.

2.3. Метод Гаусса.

2.4. Двухсеточный метод.

Глава 3. Расчет тестовой задачи.

3.1. Точное решение.

3.2. Результаты вычислений.

Заключение.

Список использованной литературы.

Приложение.

Введение.

При проектировании зданий и сооружений требуется предлагать варианты наружных ограждающих конструкций на основании стационарного температурного поля, поскольку теплопотери можно рассчитывать именно по температурному полю.

Поэтому разработка быстрых и точных методов расчета температурных полей является актуальной темой, особенно в условиях Крайнего Севера, где предъявляются большие требования к теплозащите зданий.

Нами предложен двухсеточный метод решения третей краевой задачи для расчета двумерного стационарного температурного поля наружных ограждающих конструкций.

При решении третей краевой задачи для многомерного уравнения Лапласа возникают проблемы с нехваткой памяти и машинного времени при решении известными прямыми и итерационными методами. При достаточно большого числа узлов для решения задачи прямые методы не работают, а для итерационных методом надо очень много времени. Поэтому для быстрого решения задач используют относительно немного узлов, что в свою очередь сказывается на точность решения задачи.

Идея метода заключается в том, что на мелкой сетке задача решается обычным итерационным методом один раз, потом из полученного решения с помощью преобразования получаем решение на грубой сетке. И с помощью обычного прямого метода получаем погрешность решения на грубой сетке. Затем с помощью обратного преобразования получаем погрешность решения на мелкой сетке и прибавляем его к ранее полученному решению на мелкой сетке.

В первой главе данной работы дана определенная задача для решения температурного поля наружной ограждающей конструкции. Во второй главе содержится математическая постановка задачи и подробный алгоритм решения данной задачи. В третей главе мы проверяем свой метод путем прогонки тестовых задач с разными входными данными.

Глава 1. Температурное поле наружной ограждающей конструкции.

Для нашего случая процесс распространения тепла происходит в ограждении

и описывается уравнением теплопроводности

, (1)

где U=U(x, y) – температура в точке (x, y),

- коэффициент теплопроводности.

Мы будем рассматривать третью краевую задачу в области

. Требуется найти в решение U=U(x,y) задачи:

(3)

где

- граница области ;

- искомая температура, ;

- коэффициент теплопроводности, ;

- производная по внешней нормали;

- температура среды (не зависит от времени), ;

- коэффициент теплоотдачи поверхности ограждения, ;

- начальная температура, град.

1.1. Разностные схемы.

В области

введем неравномерную, прямоугольную сетку

с шагами

по x, по у. Заменяя частные производные по x , по y в узле .

Где

,

.

,

По методу Зейделя получим разностную схему во внутренних узлах

(5)

с граничными условиями на границе

на границе

теплообмена нет.

Мы будем рассмотреть явную схему на шаблоне крест:

то значения на (v+1)-ой итерации внутренних узлах находятся по формуле