Аддитивные проблемы теории чисел (стр. 3 из 5)

p−xy = a,p < N, Ł a = 1, `. . ` ŁıŁ			łŁº	º º Æ ª ŁŒæŁ -
ª a 6= 0. ` ª ε > 0.	ŁıŁ Œ º æŁ	Ł	æŒ	º æ æ Œ O(N/(ln1+ε N)),
´Ł	ª - ` Æ Ł	æ	º ŁŁ	æ ßı Łæ º Ł Ł æŒŁı
ª ææŁ ı	æ Œ Ł Ł	Œ	ł Ł	ƺ ß ºŁ º Ø Ł ł .
ˇ Ł	º Ł æ ºŁ	æ Ł	æłŁ	Ø ªŁ ß —Ł æ
Œ Ł æŒŁ ).	Ł Ł Æ º ł ª	ł	( Ł	ß Æ ææ ß Ł
1.5.1 ˆŁ	—Ł .
˜º º	æ Ł º Ł	- Œ ŁŁ. ˜ - Œ Ł ζ(s)− -
ºŁ Ł æŒ	Œ Ł Œ º Œæ ª	ª s = σ + it, Ł σ > 1 º æ
Ææ º Ł	æı øŁ æ	˜Ł Łıº :

˙ Ł	- Œ ŁŁ	,	º	Łæº	ºŁ ßı ª ª
æ Łæº .	: Œº	æ	æ ß	Łæº ,	ª Œº	Ł ª æ ª
—Ł	1859 ª. ßæŒ	º	º	Ł	æ	Ł æ ßı	Łæ º æ Re = 1/2 -
Œ ŁŁ,	Œ º	Łº,	æ	Øæ	Ł	º ß ºŁ	- Œ ŁŁ æ º -
ß	Ø Re = 1/2.
¨ Œ,	Œ Ł ζ(s)	º	º æ ı Œ		º Œæ ßı s 6= 1, Ł Ł ºŁ º Ł-

º ßı ºßı s = −2,−4,−6... ¨ Œ Ł º ª Ł

s)ζ(1 − s), Ł ª ß Ł

Ł s > 1 æº , æ æ º ß

ºŁ, ß ß Ł Ł º ß Ł¿, æ º ß º æ 0 6 s 6 1 æŁ Ł æŁ º Œ ß Ø "Œ Ł Ł æŒ Ø ºŁ ŁŁ"

R. ˆŁ —Ł , :

´æ Ł Ł º ß ºŁ - Œ ŁŁ Ł Øæ Ł º æ ,

_.

˛Æ Æø…	ªŁ —Ł	æ æ	Ł Ł ª æ ª	Ł	º Æ Æø -
ŁØ -	Œ ŁØ, ß	ßı L-	Œ Ł Ł ˜Ł Łıº .
2 æ º.	ß ł	Ł	ƺ Ł Ł	Ø	ŁŁ Ł-
ˇ ß æŁæ	Ł æŒŁ	º ß	Ł Ł Ø ŁŁ	Łæ º ÆߺŁ	º ß ¸ -
غ	(1748), Œ	ßØ Łææº	º æ ø æ	ßı	º Ł
ºßı Łæ º	º Ł º	ß æº ª	ß , æ æ Ł, Ł Æߺ ææ
º ŁŁ	Łæº	Œ ºŁ	æ æº ª ßı.

2.1 Œ ŁŁ Œ Ł øŁ Œ Ł .

ªŁ Œº ææŁ æŒŁ Ł Ł Ł Ø ŁŁ Łæ º ł æ Œ ŁŁ Œ Ł øŁ Œ Ł . æı Ł Œ ¸. غ Ł º Ł æ -

ºŁ Ł æŒŁı , Ł ßı ˆ. X. Ł (G. H. Hardy), ˜ . ¨. ¸Ł º (J. ¯.

Littlewood) Ł ¨. . ´Ł ª ß . ¨æı Ø º æ Ł æ æ º Ł ß æº º æ :

A_i = {a_i},a_i > 0,a ∈ Z,i = 1,2,3,... æ ßı : æ Ł ø Ø Œ Ł Ø

,

ª r(n) = r_k,A⁽ⁿ⁾− Œ ºŁ æ æ º ŁØ Łæº Ł :

n = a₁ + a₂ + ... + a_k,a_i ∈ A_i,A = {A₁A₂,...}.

ˇ Ł r(n) ß Łæº æ Ł øŁ Ł ª º ˚ łŁ. ´ ´Ł ª æ ß ß æ Łª Ł æŒŁ Ł æ Ł:

¨ r(n) ß º æ ªº	æ , æ æ ø	Ł Ł º , æ æ ßı
Œ æ æ Ł Œ ßı Ł	º ßı Œ. ´	æ ºŁ Ł æŒŁı æ Øæ F(z), -
Æ øŁı Ł Ł	Ø ŁŁ Łæ º	Ł º Ł ªŁ , º ªŁ ßı ªŁ-
—Ł , º	º Ł ß Łæº	ŁŁ r(n) Łª Łæ Ł Ł æŒŁ
ŒŁ Łª Ł . æ	´Ł ª	Ł Œ ß æ º Ł æ ßı
Łæ º Ł Ł æŒŁı ª	ææŁ ı, º	ß æ ß Ł Ł -
ŁŁ L- Œ ŁØ ˜Ł Łıº . æ	ºŁ æ ,	ŁæŁ æ Ł k ºŁÆ r(n) 6= 0 º
æ ı n > 1, ºŁÆ r(n) 6= 0 º	æ Æ º łŁı n n > n0(A), ºŁÆ Ł º æ ı

ß º æ æ ł Ł r(n) 6= 0, . .

,

ŁºŁ, Œ , º r(n) Ł æ æŁ Ł	æŒ	º . ˝ Ł	ł Łæº k, º -
ø Ł Łæº ßı æº	ŁØ, Æ	æ æ	æ g(A), G(A),
G0(A), k0(A). ´ æº {ai} = {p}, ª {p}−	æº	º æ	æ ßı Łæ º, Ł k =
3 º æ ´Ł ª : æ Œ	æ	Æ º ł	Łæº

Æß æ º Ł æ ß ı æ ßı Łæ º; Ł k = 2 - Œ : Ł æ ß Łæº ª Æß æ º ß Ł æ ß ı æ ßı Łæ º.

2.2 ß ł . ¨ææº Ł æ Œ ß æ .

˝ Œ ß Ł Ł Ł Ø ŁŁ Łæ º ł æ Ł øŁ Łææº Ł æ Œß æ , º øŁıæ º æ Ł Ł æº º æ Ø A_ia_i,

ßı ºŁł Łı º æ Ł

, ª A_i(n) = ^P₁₆a_i6n 1. ¨ º Ł º æ Ł dⁿ(A_i) Ł A₁ = A₂ = ... = A_k = A æº , g(A) < ∞. ˇ Ł Ł ª