Математика цариця наук звязок математики з іншими науками (стр. 10 из 13)
Очі і логарифми
Зорові рецептори, так само, як і інші — слухові, температурні і т.д., одержують сигнали з зовнішнього світу. Вони повинні передати зорову інформацію в мозок точно і вчасно. Передача сигналів від ока до мозку здійснюється нейронами “граничного” типу — аналоговий спосіб виявляється непридатним при передачі сигналів на досить великі відстані. А в граничних нейронів, як уже говорилося, всі імпульси зовсім однакові, і інформацію зведення про величину вхідного сигналу ці нейрони передають змінюючи частоту імпульсації.
Отут виникає проблема. Освітленість у сутінках, коли предмети ледве видні, відрізняється від освітленості при яскравому сонячному світлі приблизно в мільярд (тобто в 109) раз. Максимальна ж частота, з якою може працювати нейрон — 1000 імпульсів у секунду. Легко зрозуміти, що не можна передавати інформацію, змінюючи частоту роботи нейрона пропорційно освітленості: якщо при яскравому світлі частота імпульсів буде максимальною (1000 імпл/с), то при зменшені освітленості в мільйон разів сигнал буде надходити всього один раз у 15 хвилин. Але за цей час він зовсім втратить свою актуальність!
Але може бути, такий пристрій зорової системи, коли різні її елементи, різні нейрони працюють кожний у своєму діапазоні освітленості: одні в сутінках, інші в похмурий день, треті на яскравому сонці. Простий підрахунок показує, що якщо прийняти за нижню границю частоти роботи нейрона, необхідної для досить своєчасної передачі інформації, 1 імп/с, то для охоплення діапазону зміни освітленості в мільярд раз буде потрібно мільйон нейронів — і це без усякого “запасу” міцності, без дублювання їхньої роботи! Але головне от що: у кожен момент буде працювати тільки одна клітка з мільйона, а інші 999 999 будуть “дармо їсти хліб”: адже на відміну від технічних, живі “механізми” споживають енергію (свій “бензин”) не тільки під час роботи. А економія енергії в живій природі — одна з головних умов виживання.
Отже, лінійна залежність між вхідними і вихідними сигналами у випадку ока виявляється недоцільною. І дійсно, у природі в цьому випадку використовується інша функція, по шкільних мірках досить складна.
Експериментально це було встановлено в 1932 році англійським ученим X. Харлайном. Він реєстрував нервові імпульси, що йдуть по одиночному нервовому волокну від ока до мозку, у мечохвоста.
При лінійній залежності рівним збільшенням аргументу відповідають рівні збільшення функції, або, та ж сама, лінійна залежність переводить арифметичну прогресію значень аргументу в арифметичну ж прогресію значень функції. Коли ми маємо справу з показниковою функцією y=ах, то рівним збільшенням аргументу відповідає рівномірний відносний приріст функції. Наприклад, при постійних умовах проживання і необмежених ресурсах так росте чисельність якої-небудь популяції: число особин за кожний рік збільшується на 10%, тобто в 1,1 рази. Іншими словами, показникова функція “переводить” арифметичну прогресію в геометричну. У нашому випадку ситуація зворотна: частота імпульсації нейрона міняється на ту саму величину, коли вплив міняється в те саме число раз. Виходить, ми маємо справу з функцією, оберненою до показникової, тобто з логарифмічною; іншими словами, нейрони ока мечохвоста перетворюють геометричну прогресію роздратувань в арифметичну прогресію сигналів.
Ця властивість зорових рецепторів, що виробилася в ході еволюції, дозволяє оку працювати ефективно й ощадливо, забезпечує можливість добре сприймати контраст. Нехай світлий і темний предмети розрізняються по здатності відбивати світло в десять разів. Тоді і на яскравому сонці, і в сутінках світлий предмет буде відбивати в десять разів більше світла, ніж темний. Тому порівняльна яскравість цих предметів не міняється; не міняється і відстань між відповідними крапками на осі абсцис. А це означає, що різниця частот роботи рецепторів, на які падає світло від цих двох предметів, буде залишатися незмінною при різному освітленні. Так що “уміння логарифмувати” дозволяє оку не тільки працювати в широкому діапазоні освітлення, але і при малій освітленості розрізняти предмети.
Цікаво, що описана залежність між зовнішнім сигналом
(роздратуванням) і сигналом, який сприймає мозок (відчуттям), спочатку була виявлена психологами. Зробив це французький учений П. Бугер ще в XVIII столітті. На початку XIX століття німецький фізіолог і психолог Э.Вебер детально вивчив зв'язок між подразненням і відчуттям. Він з'ясовував, як потрібно змінити якийсь подразник, щоб людина помітила цю зміну. Виявилося, відношення зміни величини подразника до його первісного значення є величина постійна:
, де I — міра подразника, 
— приріст подразника, a k —константа Вебера.
Виходячи з експериментів Вебера, інший німецький фізіолог і психолог Г.Фехнер сформулював знаменитий закон Вебера — Фехнера:
Відчуття ростуть в арифметичній прогресії, коли подразення росте в геометричній прогресії.
Цей закон був опублікований у книзі Фехнера “Елементи психофізики” у 1859 році. Там же був надрукований і математичний опис вираження закону:
,де Е — міра відчуття, а і b — константи, I — міра роздратування.
Навіщо кішці вектори?
Слово “вектор”, можна сказати, зовсім “дитина” — воно з'явилося вперше в роботі англійського математика У. Гамільтона в 1845 році. Але відповідне поняття використовувалося у фізиці ще за кілька століть до цього в зв'язку з розглядом закону додавання сил (“правила паралелограма”). Про “вектори” ж в організмі тварин ми довідалися тільки недавно.
Почалося з кішок. У 1988 році канадська вчена Дж. Макферсон виконала цікаву роботу. Вона ставила кішку на спеціальну платформу, штовхала цю платформу в якому-небудь напрямку і дивилася, яким чином кішка зберігає рівновагу. Припустимо, вона штовхнула платформу вперед. Ноги кішки разом із платформою стали іти вперед, а тіло залишалося на місці. Тоді кішка, щоб повернути центр ваги в правильне русло над точками опори активізує м'язи лап і, відштовхуючись від платформи, рухає тіло вперед. Якщо платформу штовхнути вправо, центр ваги відхилиться вліво стосовно опори і лапи повинні створити силу, спрямовану вправо, і т.д.
Як же відбувається ця робота лап при збереженні рівноваги
Природньо — це припустити, що кожна з двох задніх лап при поштовху вперед створює силу, спрямовану вперед; сума цих двох сил і відновлює правильне положення тіла. Якщо платформу штовхнули вправо, кожна лапа створює силу, спрямовану вправо, і т.д. Така гіпотеза погодиться з тим, що в кішки є могутні м'язи, що рухають лапу — вони використовуються для ходьби і стрибків, а також м'язи, що відводять лапу назовні в напрямку до осі тіла. Однак, коли Макферсон стала з'ясовувати, що відбувається насправді, виявилося, що картина зовсім інша: при поштовху платформи, незалежно від напрямку руху, задні лапи кішки створюють сили, спрямовані уздовж двох прямих (кожна лапа — уздовж своєї), розташованих приблизно під кутом 45° до осі тіла. Навіть у найпростішому випадку, коли платформу штовхають прямо вперед, сили, створювані лапами, спрямовані не вперед, а теж під кутом 45° до осі тіла. І тільки їхня сума має потрібний напрямок і величину.
Виходить, нервова система кішки вирішує наступну задачу. При поштовху платформи за інформацією, отриманої від різних рецепторів, визначається, який вектор (силу) потрібно одержати. Потім цей вектор розкладається по фіксованих осях координат. При такому способі виходить, що кожній з двох задніх лап потрібно передати всього одне число — координату вектора сили (позитивну чи негативну), яку повинна створити ця лапа уздовж своєї фіксованої осі.
Виходить дуже ощадлива схема. Але життя таке повне несподіванок!
Розбираючи в тім, якими м'язами створюється цей фіксований напрямок (здавалося б, чого простіше: використовувати для одиничного вектора одного напрямку м'язи, що рухають ногу вперед і усередину, а для створення іншого — назад і назовні) далі змінювати пропорційно силу, що розвивається цими м'язами, — “множити на число”, і усе в порядку. Макферсон одержала ще один несподіваний результат. Виявилося, що в створенні “одиничного” вектора можуть брати участь різні м'язи, їхнє сполучення міняється в залежності від напрямку поштовху. У чому зміст такого, на наш погляд, ускладненого рішення, ще з'ясовувати й з'ясовувати. Однак тут виявляється загальний принцип живого: уникати твердих схем, мати завжди надлишок “ступенів волі”, словом, плюралізм.
Вектори в мозку мавпи і людини
Труднощі в з'ясуванні питання про те, як насправді відбувається вирішення тієї чи іншої задачі, пов'язані з тим, що заглянути в “керуючий центр” — у мозок — дуже важко. Мозок “чорна шухляда”: можна бачити, яка задача йому запропонована, можна бачити, який він видає результат,— а от що відбувається усередині, про це пояснень ще дуже і дуже мало.
Тим більше цікава і важлива робота, що дозволила майже безпосередньо побачити, як йде робота мозкових нейронів при вирішенні деяких задач. Цю роботу зовсім недавно виконав американський вчений А. Георгопулос. Він експериментував із дресированими мавпами. Лапа мавпи містилася в деякій крапці столу, а в різних крапках столу містилися електричні лампочки. Мавпу навчили при спалаху якої-небудь лампочки рухати лапу в напрямку до цієї лампочки. У цей час експериментатор реєстрував за допомогою вживлених електродів активність (частоту імпульсації) нервових кліток кори великих півкуль у тій її зоні, що керує рухами цієї лапи.