Математика цариця наук звязок математики з іншими науками (стр. 3 из 13)

Крім того математику ще використовують для визначення місця розташування. Так два математики – Джон Коуч Адамс та француз Юрбен Ле Верр’є вирахували, де може розташовуватись Нептун, завдяки впливу його гравітації на орбіту Урана.

Але напевно найзагадковішою планетою є Плутон. Плутон дуже малий, тому його важко побачити, але найсучасніші обчислювальні супутники визначили його розміри. Він у 5 разів менший за Землю – всього 2284 км у діаметрі і в 500 разів легший.

Та планети – це не єдині великі тіла у Всесвіті. Найбільші зорі називаються надгігантами. Планета Антарес у 700 разів більший за Сонце. А в системі Епсилон, у сузір’ї Візничого є зоря, діаметр якої 3 мільярди км, що в 4 000 разів більша від Сонця. Але більшість зірок невеликі. Таких маленьких зірок астрономи нараховують 200 мільярдів, застосовуючи при цьому математику. Для того, щоб вимірювати відстані у космосі одних лише метрів та кілометрів замало. Тому астрономи використовують різні космічні одиниці. Найпоширенішою є світловий рік – відстань у 9 460 мільярдів км. Саме такий шлях проходить світло за рік, рухаючись зі сталою швидкістю 300 000 км/с.

У 1672 році два астрономи – Кассіні і Ріхер відмітили точне положення Марса на небі. Вони обчислили відстань до Марса. А потім за допомогою елементарної геометрії обчислили відстань від Землі до Сонця, яка приблизно дорівнює 150000000 км. Її вдалося з достатньою точністю вирахувати за допомогою радарів. Цю відстань прийнято називати астрономічною одиницею.

Найближча до Сонячної системи зоря – Проксима Центавра, відстань до неї становить 4,3 світлових роки, або 40 трильйонів км.

Але і цей шлях в порівнянні з розмірами нашого Всесвіту – лише піщинка, адже тільки та частинка Всесвіту, яку ми бачимо, простягається на 1,6 млн. млн. млн.. млн. км, – і не відомо, наскільки він великий за межами видимого.

Отже, математика – надзвичайно потрібна. З її допомогою людство зробило низку відкриттів і розгадало деякі секрети галактики.

Колись, відомий математик – Піфагор сказав: “У числових закономірностях захована таємниця життя”. І це дійсно так.

Математична фізика

Вивченням матемтичних моделей фізичних явищ займається математична фізика — велика галузь математики. У її акиві — глибоке аналітичне дослідження рівнянь дуже багатьох природних процесів, таких, як рух планет, течії рідин, пружні деформації, поширення хвиль, теплопровідність, дифузія і т.п. О.А.Самарський

МАТЕМАТИЧНА ФІЗИКА – теорія математичних моделей фізичних явищ займає особливе місце і у математиці, і у фізиці, перебуваючи на стику цих наук. Математична фізика тісно пов'язана з фізикою в тій частині, яка стосується побудови математичної моделі, і в той самий час математична фізика – розділ математики, оскільки методи дослідження моделей є математичними. У поняття методів математичної фізики входять ті математичні методи, які застосовуються для побудови і вивчення математичних моделей, що описують великі класи фізичних явищ.

Методи математичної фізики, як теорії математичних моделей фізики почали в кін. XVII ст. інтенсивно розроблятися в працях І. Ньютона по створенню основ класичної механіки, всесвітнього тяжіння, теорії світла. Подальший розвиток (XVIII – I-а пол. XIX ст.) методів математичної фізики і їх успішне застосування до вивчення математичних моделей величезного обсягу різних фізичних явищ пов'язані з іменами Ж. Лагранжа, Л. Ейлера, П. Лапласа, Ж. Фур’є, К. Гауса, Б. Римана, М. В. Остроградського та інших учених. Великий внесок до розвитку методів математичної фізики внесли А. М.Ляпунов і В. А. Стєклов. З II-ї пол. XIX ст. методи математичної фізики успішно використовувалися для вивчення математичних моделей фізичних явищ, зв'язаних з різними фізичними полями і хвильовими функціями в електродинаміці, акустиці, теорії пружності, гідро- й аеродинаміці та інших напрямах дослідження фізичних явищ у суцільних середовищах. Математичні моделі цього класу явищ найбільше часто описуються за допомогою диференційних рівнянь з частковими похідними, що одержали назву рівняння математичної фізики. Крім диференційних рівнянь математичної фізики, при описі математичних моделей фізики застосовуються інтегральні рівняння та інтеґро-диференціальні рівняння, варіаційні та теоретико-імовірнісні методи, теорія потенціалу, методи теорії функцій комплексної змінної і низка інших розділів математики. У зв'язку з бурхливим розвитком обчислювальної математики особливе значення для дослідження математичних моделей фізики здобувають прямі чисельні методи, скінченно-різницеві методи розв’язування крайових задач, що дозволило методами математичної фізики ефективно вирішувати нові задачі газової динаміки, теорії переносу, фізики плазми, у тому числі і зворотні задачі цих напрямків фізичних досліджень.

Теоретичні дослідження в області квантової фізики і теорії відносності, широке застосування комп’ютерів у різних областях математичної фізики, включаючи і зворотні (некоректно поставлені) задачі, викликали значне розширення використовуваного математичною фізикою, арсеналу математичних методів. Поряд із традиційними розділами математики стали широко застосовуватися теорія операторів, теорія узагальнених функцій, теорія функцій багатьох комплексних змінних, топологічні і алгебраїчні методи. Ця інтенсивна взаємодія теоретичної фізики, математики і використання комп’ютерів у наукових дослідженнях призвела до значного розширення математики, створення нових класів моделей і піднесло на новий рівень сучасну математичну фізику.

Постановка задач математичної фізики полягає в побудові математичних моделей, що описують основні закономірності досліджуваного класу фізичних явищ. Така постановка полягає у виведенні рівнянь (диференціальних, інтеґральних, інтеґро-диференціальних або алгебраїчних), яким задовольняють величини, що характеризують фізичний процес. При цьому вчені виходять з основних фізичних законів, що враховують тільки найбільш істотні риси явища, відволікаючись від низки його другорядних характеристик. Такими законами є звичайно закони збереження, напр. кількості руху, енерґії, числа часток. Напр., математичні задачі для найпростішого рівняння гіперболічного типу

,

отриманого Ж. Д’Аламбером (1747 р.) для опису вільних коливань однорідної струни, виявляються придатними і для опису широкого кола хвильових процесів акустики, гідродинаміки, електродинаміки та інших областей фізики. Аналогічно, рівняння

,

крайові задачі, яке спочатку вивчалося П. Лапласом (кін. XVIII ст.) у зв'язку з побудовою теорії тяжіння, надалі знайшло застосування при розв’язуванні багатьох проблем електростатики, теорії пружності, задач сталого руху ідеальної рідини тощо. Кожній математичній моделі фізики відповідає цілий клас фізичних процесів.

Для математичної фізики характерно також те, що багато загальних методів, які можна використати для розв’язування задач математичної фізики, розвивалися з частинних способів розв’язування конкретних фізичних задач, і у своєму первісному вигляді не мали строгого математичного обґрунтування і достатньої довершеності. Це відноситься до таких відомих методів розв’язування задач математичної фізики, як методи Рітца й Гальоркіна, до методів теорії збурень, перетворень Фур'є і багатьох інших, включаючи метод розділення змінних. Ефективне застосування всіх цих методів для розв’язування конкретних задач стало одним зі стимулів для їх строгого математичного обґрунтування й узагальнення, що призвело у деяких випадках до виникнення нових математичних напрямів.

Вплив математичної фізики на різні розділи математики виявляється й у тому, що розвиток математичної фізики, який відбиває вимоги природничих наук і запити практики, спричиняє переорієнтацію спрямованості досліджень у деяких вже сформованих розділах математики. Постановка задач математичної фізики, пов'язана з розробкою математичних моделей реальних фізичних явищ, призвела до зміни основної проблематики теорії диференціальних рівнянь у частинних похідних. Виникла теорія крайових задач, що дозволила згодом зв'язати диференціальні рівняння у частинних похідних, з інтеґральними рівняннями і варіаційними методами.

Вивчення математичних моделей фізики математичними методами не тільки дозволяє дослідити кількісні характеристики фізичних явищ і розрахувати із заданим ступенем точності хід реальних процесів, а й надає можливість глибокого проникнення до самої суті фізичних явищ, виявлення схованих закономірностей, передбачення нових ефектів. Прагнення до більш детального вивчення фізичних явищ призводить до усе більшого ускладнення математичних моделей, які описують ці явища, що, у свою чергу, унеможливлює застосування аналітичних методів дослідження цих моделей. Це пояснюється, зокрема, тим, що математичні моделі реальних фізичних процесів є, як правило, нелінійними, тобто описуються нелінійними рівняннями математичної фізики Для детального дослідження таких моделей успішно застосовуються прямі чисельні методи з використанням комп’ютерів. Для типових задач математичної фізики використання чисельних методів зводиться до заміни рівнянь математичної фізики для функцій неперервного аргументу алгебраїчними рівняннями для сіткових функцій, заданих на дискретній множині точок (на сітці). Іншими словами, замість неперервної моделі середовища вводиться її дискретний аналог. Застосування чисельних методів у ряді випадків дозволяє замінити складний, трудомісткий і вартісний фізичний експеримент значно економічнішим математичним (чисельним) експериментом. Досить повно проведений математичний експеримент є основою для вибору оптимальних умов реального фізичного експерименту, вибору параметрів складних фізичних приладів, визначення умов виявлення нових фізичних ефектів тощо. У такий спосіб чисельні методи надзвичайно розширюють область ефективного використання математичних моделей фізичних явищ. Математична модель фізичного явища, як усяка модель, не може передати всіх рис явища.