Математика цариця наук звязок математики з іншими науками (стр. 4 из 13)

У багатьох випадках про адекватність прийнятої моделі можна судити на підставі розв’язування обернених задач математичної фізики, коли про властивості досліджуваних явищ природи, недоступних для безпосереднього спостереження, робляться висновки за результатами їх непрямих фізичних проявів. Для математичної фізики характерне прагнення будувати такі математичні моделі, які не лише дають опис і пояснення вже встановлених фізичних закономірностей досліджуваного кола явищ, а й дозволяють передбачити ще не встановлені закономірності. Класичним прикладом такої моделі є теорія всесвітнього тяжіння Ньютона, що дозволила не лише пояснити рух відомих до моменту її створення тіл Сонячної системи, але і передбачити існування нових планет. З іншого боку, нові експериментальні дані не завжди можуть бути пояснені в рамках прийнятої моделі. Для їхнього пояснення потрібне ускладнення моделі.

Невід’ємною частиною вивчення фізики є застосування визначеного інтеграла у фізиці.

Обчислення роботи змінної сили.

Нехай А(х) – робота при переміщенні тіла з точки а у точку х. Надамо х приросту Dx . Тоді A(x + Dx) - A(x) – робота, яка виконується силою F(x) при переміщенні тіла з точки х у точку x + Dx. Коли Dx ® 0, силу F(x) на відрізку [x;x + Dx] вважатимемо сталою, що дорівнює F(x).

Тому A(x + Dx) - A(x) » F(x)×Dx . Звідси

A(x + Dx) - A(x) » F(x).

Dx

Тоді lim

^{A(x + Dx) - A(x)} = F(x), або, за означенням похідної,

Dx®0 Dx

A¢(x) = F(x) .

Остання рівність означає, що A(x) є первісною для функції F(x). Тоді, за формулою Ньютона – Лейбніца,

b

òF(x)dx = A(b) - A(a) = A(b) = A,

a

Оскільки А (а)= 0.

Отже, робота змінної сили F(x) при переміщенні тіла з точки а в

b точку b дорівнює A = òF(x)dx.

a

Задача. Обчислити роботу, яку треба затратити для стискання пружини, якщо сила 4 Н стискає цю пружину на 2 см.

За законом гука F(x)=kx. З умови задачі k =

= 200.

Якщо повна довжина, на яку можна стиснути пружину l i F(x)=200x, то

l

A = ò200xdx =100x²

₀^l=100l ² (Дж).

0

Обчислення маси неоднорідного стержня.

За означенням, лінійна густина r неоднорідного стержня дорівнює похідній функції m = m(l), що виражає масу стержня як функцію його довжини. Отже. r= m¢(l) , тобто функція m = m(l) є первісною для r= r(l) . Звідси випливає. Що масу стержня на відрізку [l₁;l₂] можна обчислити за

l₁ формулою m = òr(l)dl .

l₂

Задача. Знайти масу неоднорідного стержня завдовжки 40 см, якщо його лінійна густина змінюється за законом p(l) = 2l² +1 (кг/м).

l

Знайдемо масу стержня за формулою m = òr(x)dx :

0

m = 0ò0,4(2l 2 +1)dl = æçèç 23l 3 + lö÷ø÷ 00,4 = 2×(03,4)3 + 0,4 = 166 375 » 0,44 (кг).

Математика у хімії

“Якщо хтось хоче глибше осягнути хімічні істини, то він повинен вивчати механіку. А оскільки знання механіки передбачає знання чистої математики, то той, хто прагне до найближчого вивчення хімії, має

бути обізнаним і з математикою”. М.В.Ломоносов

“Багато з того, про що мріяв М.В.Ломоносов, здійснилось, і ряд хімічних теорій уже немислимий у наш час без серйозного використання

різноманітних засобів математики”. Б.В.Гнєденко

Дуже часто при розв’язанні задач з хімії можна почути від учителів: “Ось тут закінчилась хімія, почалась математика”. Ця цитата точно показує застосування математики у хімії.

Формуванню компетентного підходу до навчання хімії слугує математика. Використання математичних знань здійснюється під час розв’язання розрахункових хімічних задач. Хімія запозичила в математики не тільки обчислювальний апарат, а й сам процес розв’язання задач з хімії, що дозволяє підняти науковий рівень її викладання. Використання математичних виразів, симетрії, координатний метод, поняття про пряму і зворотну пропорційні залежності, і т. д., дозволяють глибше уявити просторову конфігурацію молекул, а від так пояснити хімічні властивості речовин.

Сучасна хімія не може обходитися без математичних обчислень, зокрема під час розрахунків хімічних процесів на виробництвах та ін. Розв’язування задач під час вивчення шкільного курсу хімії сприяє конкретизації й зміцненню знань учнів, активізує їхнє мислення, розвиває навички самостійної роботи і підвищує ефективність уроків. Уміння розв’язувати задачі розцінюється як одна з найважливіших умов інтеграції математичних знань в хімію. Багаторічний досвід роботи підтвердив, що задачі на обчислення можна використати під час вивчення хімії на різних етапах педагогічного процесу. Зокрема, як ілюстрацію хімічних закономірностей, принципів хімічної технології та хімізації народного господарства, під час формування понять про загальні принципи хімічних виробництв, продуктивність апаратури, якість і повноту переробки сировини, вихід готового продукту і т. д.

Розрахункові задачі пропонуються (поряд з іншими видами хімічних задач) під час закріплення матеріалу, перевірки знань і умінь учнів. Це не тільки сприяє активізації розумової діяльності учнів, а й уможливлює з’ясування міцності та глибини знань учнів, на основі яких формується комунікативні компетентності.

Розробляючи план розв’язання складної задачі, треба розкласти її на ряд простих, об’єднаних загальним змістом.

Задача. Гірник за 80 років роботи на шахтах видобув залізної руди масою 1 000 000 тонн, що містить 80% ферум (ІІІ) оксиду. Скільки велосипедів можна виготовити із цієї руди, якщо на виготовлення одного велосипеда витрачається заліза масою 20 кг. Пропонуються аналіз умови задачі проводити синтетичним методом.

1. Знаючи відсотковий зміст ферум (ІІІ) оксиду в залізній руді, можна знайти масу ферум (ІІІ) оксиду, що міститься у руді масою 1 млн. тонн.

2. Знаючи масу ферум (ІІІ) оксиду, можна знайти масу ферума, що в ньому міститься.

3. Знаючи загальну масу ферума і ту його масу, що витрачається на виготовлення одного велосипеда, можна визначити, скільки велосипедів буде виготовлено.

Простота синтетичного методу, можливість перекладу змісту задачі на мову математичних дій і виконання самих дій одночасно із складання плану задачі зробило цей метод досить поширеним на уроках хімії.

Використовуючи аналітичний метод аналізу умови задачі, ми йдемо протилежним шляхом – від шуканого числа до даних в умові чисел. На відміну від синтетичного аналітичний метод є рядом логічно зв’язаних між собою висновків, які впливають один на одного. В даній задачі потрібно вважати, по-перше, масу ферума, по-друге, масу ферум (ІІІ) оксиду в якому міститься ферум. Наприклад, розв’язування розглянутої вище задачі слід записати в робочих зошитах так:

Залізної руди – 1000000 т. W(Fe₂O₃) – у руді 80% = 0,8 m Fe (на 1 велосипед) – 20 кг

Велосипедів – х штук

1. Скільки тонн ферум (ІІІ) оксиду міститься в залізній руді масою 1000000 тонн.

1000000 т ´ 0,8 = 800000 т

2. Скільки тонн ферума міститься в його оксиді масою 800000 т.

800000т y

Fe₂O₃ 2Fe

=

56´2 +16´3 2´56

y =

800000т´112т = 560000т

160т

3. Скільки велосипедів можна виготовити із ферума масою 560000 т? 560000000 : 20 = 28000000 (шт).

Крім математичної культури в процесі вивчення хімії використовують різні математичні поняття, зокрема поняття відсотка. На основі останнього учні навчаються розв’язувати задачі трьох основних типів.

1) на знаходження відсотків від даного числа.

2) на знаходження числа за даними відсотками.

3) на знаходження відсоткового відношення двох чисел. Задачі кожного із цих типів слід розв’язувати таким способом:

а) перетворення у дріб;

б) зведення до одиниці;

в) способом пропорцій;

г) за формулою.

Слід зазначити, що задачі на обчислення відсоткового складу і відсоткового вмісту розв’язуються в основному першим способом.

Задача. Обчислити масову частку купрума в купрум (ІІ) оксиді

Mr(CuO) = 64 +16 = 80

1. скільки відсотків становлять 64 масових часток Сu від 80 масових часток купрум (ІІ) оксиду

64 : 80 = 0,8 = 80%

2. Скільки відсотків становлять 16 масових часток оксигену від 80 масових часток купрум (ІІ) оксиду

16 : 80 = 0,2 = 20%

Перевірка: 80% + 20% = 100%

Розв’язуючи задачі за хімічними формулами і рівняннями можна застосувати як пропорції, так і спосіб зведення до одиниці.