Математика цариця наук звязок математики з іншими науками (стр. 5 из 13)

Детальніше розглянимо останній спосіб:

Задача. Яка маса ферума міститься в ферум (ІІІ) оксиді масою 40 г?

40г x

Fe₂O₂ 2Fe

= 1моль 2моль

160г 112г

1. За формулою Fe₂O₃ знаходимо масу 1 моля ферум (ІІІ) оксиду

Mr = 2×56 + 3×16 =160 M =160 г/моль m =160 г

2. Визначаємо масу ферума, що міститься в його оксиді масою 160 г

112гFe

160гFe₂O₃

3. знаходимо масу ферума, що міститься в його оксиді масою 40 г

112гFe

´40гFe2O3 = 28гFe 160гFe2O3

Для розв’язання задач на суміші можна використати як алгебраїчний і арифметичний способи, так і спрощені способи розв’язування, використовуючи квадратні рівняння. Причому, методика розв’язування задач за допомогою квадратних рівнянь, не відрізняється від розв’язання задач алгебраїчним способом.

Задача. При розкладі сульфату металічного елементу (ІІІ) масою 20% добули його оксид, маса якого на 48 г менша від молярної маси цього металічного елемента. Сульфат якого елемента розкладали?

Розв’язування. Масу моля металічного елемента позначимо через x_г .

пропорцію:
20г	x - 48
Me2(SO4)3 =	Me2O3 + 3SO3
2x + 288	(2x + 48)
20 = x - 48	2x + 288 2x + 48

Тоді маса утвореного оксиду (x - 48) г. Складемо хімічне рівняння і

Складемо рівняння: 20 (2х + 48) = (х – 48)х (2х + 288), з якого дістаємо квадратне рівняння?

2x² +152x -14784 = 0 x = 56 (г/моль)

Розв’язання таких задач значно піднімає рівень математичної культури на уроках хімії і тому потрібно вміти складати їх умови.

Не слід вважати, що для вивчення хімії необхідні тільки знання арифметики та алгебри. Великий вклад у вивчення ряду тем з хімії вносять знання з геометрії і тригонометрії. Вивчаючи в 9 класі металічний зв’язок і кристалічну будову металів, використовуємо знання учнів з геометрії, зокрема, для обчислення густини металів і об’єму, який займають атоми в кристалах металів.

Va =

4pr 3 3

Знання з тригонометрії використовуються при виготовленні кулестержневих моделей насичених і ненасичених вуглеводів. Використання цих знань не тільки полегшує виготовлення моделей, удосконалює практичні навички учнів, а й показує, що для розв’язання практичних завдань з хімії необхідні знання з математики.

Початкові розрахунки у хімії були давно, так алхіміки вели записи, що і в якій кількості вони змішували і який з цього вийшов результат. Згодом змінюючи кількість, слідкували за тим, як буде змінюватися реакція. Слідкуючи за змінами вибирали таку, при якій реакція була оптимально якісна, а для зручності запису та розуміння проведеної реакції почали вести записи у пропорціях. Це і є пряме використовування математики у хімії. Сьогодні кожен школяр при розв’язуванні елементарного рівняння використовує методи складання пропорцій та їх розв’язку.

Але сьогодні нам відомо багато елементів, реакцій, розрахунків, які не можемо споглядати. Як ми дізнаємося про їх існування та про властивості цих речовин? Все завдяки новітнім технологіям та математичним розрахункам, точніше, побудові математичної моделі. Саме завдяки точним математичним розрахункам та врахуванням хімічних властивостей елементів, Д.І. Менделєєв створив свою періодичну систему хімічних елементів. Новий поштовх для розвитку хімії настав із впровадженням комп’ютерів. Древні алхіміки намагалися добути із свинцю та олова золото, але мало хто з них міг здогадуватися, що із золота можна добути будь який метал. Як? Дуже просто з математичної точки зору. Золото єдиний метал, який може розростатися у товщину в одну молекулу без серйозної деформації. Після цього пластинку потрібно бомбардувати із протонної гармати, щоб вільні електрони почали вибивати електрони із атомів золота. Таким чином кількість електронів буде змінюватися, відповідно буде змінюватися і маса, а значить будуть змінюватися і властивості нового металу.

Математичні моделі дають можливість зекономити тисячі гривень, на непотрібні експеременти. Наврядчи, якийсь завод може дозвилити собі такі експеременти, а точні математичні розрахунки дозволяють прорахувати результат на 99%.

Задача 1. Є два шматки сплаву міді і цинку з відсотковим вмістом міді р% і q% відповідно. У якому відношенні потрібно взяти ці сплави щоб, переплавивши узяті шматки разом, одержати сплав, що містить r% міді?

Розв’язок. Концентрація міді в першому сплаві дорівнює

^p , у 100

другому сплаві

^q .

100

Якщо першого сплаву взяти х кг, а другого у кг, то за допомогою концентрацій (ясно, що мова йде про вагові концентрації) можна “розщепити” ці кількості на окремі складові:

x =

^xp (кг міді) + x(1- ^p )(кг цинку) і

100 100

y =

^yq (кг міді) + y(1- ^q ) (кг цинку).

100 100

Кількість міді в сплаві, що вийшов, дорівнює

xp yq

+ (кг міді),

100 100

а маса цього сплаву складе х + у кг. Тому нова концентрація міді в

сплаві, відповідно до визначення, дорівнює

xp yq

+

100 ¹⁰⁰ . x + y

За умовою задачі ця концентрація повинна дорівнювати r/100:

xp yq

+

100 100 = r , чи x + y 100

xp+ yq

=r.

x+ y

Розв’яжемо отримане рівняння. Насамперед помітимо, що рівняння містить два невідомі х і у. Неважко зрозуміти, що обидва невідомих однозначно не знаходяться. Концентрація сплаву, що виходить, визначається не масою узятих шматків, а відношенням цих мас. Тому в задачі і потрібно визначити не самі величини х і у, а тільки їхнє відношення.

Відзначимо попутно, що вираз виду

F(x, y) =

ax+by , cx+dy

назване дробово-лінійною функцією, часто зустрічається в задачах на складання рівнянь. Чисельник і знаменник цього дробу лінійний однорідні вирази, що залежать від х и у. Якщо не розглядати випадок у=0, то функція F(x,у) залежить фактично тільки від однієї змінної, а саме від відношення

x

:

y

ax

F(x, y) = ^{y +b} = ^y . cx x y + d

При цьому рівняння F(x, y) = 3 дозволяє знайти це відношення.

Запишемо рівняння задачі в наступному виді: x(p - r) = y(r - q).

Розглянемо можливі випадки:

а) p =r =q.

У цьому випадку концентрації всіх сплавів однакові і рівняння показує, що є безліч розв’язків. Можна взяти як завгодно першого сплаву і як завгодно другого сплаву.

б) p = r ¹ q.

У цьому випадку рівняння здобуває вид x0 = y(r - q),

Відкіля знаходимо: х – будь-яке, у = 0. Фізичний змісту цього рішення зрозумілий: якщо концентрація сплаву, що потрібно одержати, збігається з концентрацією першого сплаву, але не дорівнює концентрації другого сплаву, те першого сплаву можна взяти скільки завгодно, а другого сплаву не брати зовсім.

в) p ¹ r = q.

Одержуємо рівняння x(p - r) = y0

відкіля знаходимо: у – будь-яке, х = 0.

г) p ¹ r, p ¹ q,r ¹ q .

У цьому випадку можна написати

x = y r-q p-r

x r-q

= . y p-r

Це значення буде давати розв’язок задачі, який, як неважко показати, має місце, якщо значення r є між значеннями р і q. Таким чином, можна одержати сплав з будь-яким процентним умістом міді між р і q.