Математика цариця наук звязок математики з іншими науками (стр. 8 из 13)
продуктивність праці за цей період часу Wсер. = Du . Очевидно, що
Dt
продуктивність праці в момент t0 можна визначити як границю середньої продуктивності праці за час від t0 до t0 + Dt при Dt ® 0 , тобто
W = lim W = lim = u
t 0 сер. t 0 Du ¢(t).
D® D® Dt
Отже, похідна обсягу виробленої продукції щодо часу u¢(t0) – це продуктивність праці в момент часу t0. Застосування економічного змісту похідної закріплюємо розв’язуванням таких прикладів:
Задача. Обсяг продукції u (ум. од.) цеху протягом робочого дня є функцією u(t) = -t3 -5t2 + 75t + 425, де t – час (год.). Знайти продуктивність праці через 2 год. від початку роботи.
Розв’язування. Продуктивність праці визначається похідною u¢(t). Тоді u¢(t) = (-t3 -5t2 + 75t + 425)¢ = -3t2 -10t + 75. Знаходимо продуктивність праці у момент часу t = 2, тоді u¢(2) = -3×22 -10×2 + 75 = -36 - 20 + 75 =19 (од.)
Відповідь: продуктивність праці через 2 год. від початку роботи становить 19 одиниць.
ЗАДАЧІ НА ЗРОСТАННЯ ПРОДУКТИВНОСТІ
1. Виробництво продукції за перший рік роботи підприємства зросло на р%, а за наступний рік у порівнянні з першим воно зросло на 10% більше, ніж за перший рік. Визначити, на скількох відсотків збільшилося виробництво за перший рік, якщо відомо, що за два роки воно збільшилося в цілому на 48, 59%?
Розв’язок.
За перший рік виробництво зросло в æç1+
p ö÷ раз у порівнянні з è 100øпочатковим, за другий рік – у æç1+
p +10ö÷ раз у порівнянні з початком è 100 ø 
другого року й у æç1+ p ö÷æç1+ p +10 ö÷ у порівнянні з початком першогоè 100øè 100 ø
склало 1,4859:
æç1+ p ö÷æç1+ p +10ö÷ =1,4859 è 100øè 100 øЗвідси р = 17%
2. Протягом року завод двічі збільшував випуск продукції на те саме число відсотків. Знайти це число, якщо відомо, що на початку року завод щомісяця випускав 600 виробів, а наприкінці року став випускати щомісяця 726 виробів.
Розв’язок.
Нехай х – відсоток приросту продукції. Тоді після першого збільшення
Випуск зросте в (1+х) разів, після другого – у стільки ж. Тобто
600(1+х)(1+х) = 726
Звідси х = 10%
3. В оленярському радгоспі череда збільшується в результаті природного приросту і придбання нових оленів. На початку першого року череда складала 3000 голів, наприкінці року радгосп купив 700 голів. Наприкінці другого року череда складала 4400 голів. Визначити відсоток природного приросту.
Розв’язок.
Нехай х – відсоток природного приросту. Тоді наприкінці 1-го року в
череді стане 3000æç1+
x ö÷ + 700 оленів. За другий рік число оленів è 100øзбільшиться в 1+
x раз у порівнянні з початком року і стане 4400. 100æçèç3000æçè1+ 100
x ö÷ø + 700÷÷øöèæç1+ 100 x øö÷ = 4400.Звідси х=10%
Як бачимо без математики навіть у елементарних розрахунках не можна обійтися, що ж казати про більш складні операції та побудову бізнес планів.
Математика у гуманітарних науках
У період пошуку відповідей на мої питання з’явилося багато ще багато питань, одне з яких: “Де саме і як саме використовується математика у гуманітарних наука?”.
Імітаційна модель — один з найпотужніших інструментів аналізу в суспільних науках і насамперед в історії… Вивчення історичних процесів за допомогою імітаційних моделей може дати історикові матеріал
унікальної цінності М.М.Мойсеєв
Математика у філософії
“…від стародавньої філософії до самого Сократа…головним предметом філософії були числа й рухи: звідки все береться, до чого
приходить…” М.Ціцерон
“…засновники філософії не хотілі допускати до вивчення мудрості людей, не обізнаних з математикою”. Р.Декарт
“… математичні доведення були зразками як для діалектики Платона, так і для логіки Арістотеля”. Б.Л. Ван дер Варден
Основне питання філософії математики полягає у встановленні взаємовідносин між абстрактними математичними поняттями і теоріями з одного боку, та реальним світом — з іншого.
Якщо філософія, повторимо ми вслід за Вітгенштайном, є діяльністю, спрямованою на прояснення розпливчастих думок, то такою ж діяльністю, лише стосовно ряду природничих і соціальних наук, є і математика. Межі математичної абстракції, ефективної в природничих науках, особливо яскраво проявляються при зіткненні зі сферою духовного; внутрішній світ людини не піддається пізнанню математичними методами. Та чи означає це дегуманізованість математики? На нашу думку, гуманістичний аспект математики складає її нетривіальну компоненту; той факт, що різні вчені-математики розв’язують одну й ту ж проблему майже однаковими міркуваннями, часто дуже складними, свідчить на користь глибокої “вмонтованості” математичних понять в людську свідомість. Складається враження, що в ході свого еволюційного розвитку сама природа вклала математику в людський розум, як реально існуючу структуру, невід’ємну від неї самої (Г. Айленбергер).
Математика і психологія
“Математика, як найбільш розумова галузь наук, має природну спорідненість з психологією — наукою про розум”. Г.Біркгоф
“Психологи, які користуються факторним аналізом, давно вже набили руку на матричних операціях. Теорія і формули класичного множинного регресійного аналізу значно спрощуються при використанні матричної системи запису”. М.Бартлет
У психології математичні методи мають широке застосування. Це зумовлене декількома моментами:
1. Математичні методи дають змогу зробити процес дослідження явищ більш чітким, структуралізованим та раціональним.
2. Математичні методи необхідні для обробки великої кількості емпіричних даних (їхніх кількісних виразників), для їх узагальнення та організації в “емпіричну картину” дослідження.
Залежно від функціонального призначення методів та потреб психологічної науки виділяють дві групи математичних методів, використання яких у психологічних дослідженнях є найчастішими: Перша — методи математичного моделювання;
Друга — методи математичної статистики (або статистичні методи)
а) Як засіб організації теоретичного дослідження психологічних явищ через побудову закономірностей функціонування та розвитку змодельованої системи.
б) Як засіб алгоритмів діяльності людини в різноманітних ситуаціях її пізнавальної та перетворюючої і побудова на їх основі пояснюючих, розвиваючих, навчальних, ігрових та інших комп’ютерних моделей.
Статистичні методи в психології — методи прикладної математичної статистики, які застосовуються в психології здебільшого для обробки експериментальних даних. Основна мета застосування статистичних методів — підвищення обґрунтованості висновків у психологічних дослідженнях за рахунок використання імовірнісних моделей.
Можна виділити такі напрями використання статистичних методів у психології:
а) Описова статистика, яка включає групування, табулювання, графічний вираз та кількісну оцінку даних;
б) Теорія статичного висновку, яка використовується в психологічних дослідженнях для передбачення результатів з даним обстежуванням вибірок.
Особливо поширеними статистичними методами є: кореляційний аналіз, регресивний аналіз та факторний аналіз.
Кореляційний аналіз — це комплекс процедур статичного дослідження взаємозалежних змін, що перебувають у кореляційних відношеннях: при цьому переважає нелінійна їхня залежність, тобто значенню будь-якої окремо взятої змінної може відповідати деяка кількість значень змінної іншого ряду, що відхиляються від середнього в ту чи іншу сторону. Кореляційний аналіз — це один з допоміжних методів вирішення теоретичних завдань у психодіагностиці, що включає в себе комплекс статистичних процедур, які широко застосовуються для розробки тестових та інших методик психодіагностики, визначення їхньої надійності, валідності. У прикладних психологічних дослідженнях кореляційний аналіз виступає одним з основних методів статистичної обробки кожного емпіричного матеріалу.
Регресійний аналіз у психології — це метод математичної статистики, яка дає змогу вивчати залежність середнього значення будьякої величини від варіацій іншої величини, або декількох величин (у цьому випадку використовують множинний регресійний аналіз). Поняття регресійного аналізу ввів Ф.Гальтон, який установив факт визначеного співвідношення між зростом батьків та їхніх дорослих дітей. Він помітив, що у батьків найнижчого зросту діти виявляються дещо вищими, а у батьків найвищого зросту — нижчими. Такого роду закономірність він назвав регресією. Регресійний аналіз використовується переважно в емпіричних психологічних дослідженнях для вирішення завдань пов’язаних з оцінкою будь-якого впливу (наприклад, впливу інтелектуальної обдарованості на успішність, мотивів — на поведінку, тощо), при конструюванні психологічних тестів.