Действительные числа Иррациональные и тригонометрический уравнения (стр. 4 из 6)
Аналогично определяются и другие тригонометрические функции числового аргумента х.
Формулы привидения.
Формулы сложения. Формулы двойного и половинного аргумента.
Двойного.
; 
(
; 
.Тригонометрические функции и их графики. Основные свойства тригонометрических функций.
Тригонометрические функции - вид элементарных функций. Обычно к ним относят синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x), котангенс (ctg x), Обычно тригонометрические функции определяются геометрически, но можно определить их аналитически через суммы рядов или как решения некоторых дифференциальных уравнений, что позволяет расширить область определения этих функций на комплексные числа.
Функция y sinx ее свойства и график
Свойства:
1. D (y) =R.
2. Е (у) = [-1; 1].
3. Функция у = sinx - нечетная, так как по определению синуса тригонометрического угла sin (-x) = - y/R = - sinx, где R - радиус окружности, у - ордината точки (рис).
4. Т = 2л - наименьший положительный период. Действительно,
sin (x+p) = sinx.
5. Точки пересечения с осями координат:
с осью Ох: sinx = 0; х = pn, nÎZ;
с осью Oy: если х = 0, то у = 0,6. Промежутки знакопостоянства:
sinx > 0, если xÎ (2pn; p + 2pn), nÎZ;
sinx < 0, если хÎ (p + 2pn; 2p+pn), nÎZ.
Знаки синуса в четвертях
у > 0 для углов а первой и второй четвертей.
у < 0 для углов ее третьей и четвертой четвертей.
7. Промежутки монотонноти:
y = sinx возрастает на каждом из промежутков [-p/2 + 2pn; p/2 + 2pn],
nÎz и убывает на каждом из промежутков [p/2 + 2pn; 3p/2 + 2pn], nÎz.
8. Точки экстремума и экстремумы функции:
xmax = p/2 + 2pn, nÎz; ymax = 1;
ymax = - p/2 + 2pn, nÎz; ymin = - 1.
Свойства функции у = cosx и ее график:
Свойства:
1. D (y) = R.
2. Е (у) = [-1; 1].
3. Функция у = cosx - четная, так как по определению косинуса тригонометрического угла cos (-a) = x/R = cosa на тригонометрическом круге (рис)
4. Т = 2p - наименьший положительный период. Действительно,
cos (x+2pn) = cosx.
5. Точки пересечения с осями координат:
с осью Ох: cosx = 0;
х = p/2 + pn, nÎZ;
с осью Оу: если х = 0,то у = 1.
6. Промежутки знакопостоянства:
cosx > 0, если хÎ (-p/2+2pn; p/2 + 2pn), nÎZ;
cosx < 0, если хÎ (p/2 + 2pn; 3p/2 + 2pn), nÎZ.
Доказывается это на тригонометрическом круге (рис). Знаки косинуса в четвертях:
x > 0 для углов a первой и четвертой четвертей.
x < 0 для углов a второй и третей четвертей.
7. Промежутки монотонноти:
y = cosx возрастает на каждом из промежутков [-p + 2pn; 2pn],
nÎz и убывает на каждом из промежутков [2pn; p + 2pn], nÎz.
Свойства функции у = tgx и ее график: свойства -
1. D (y) = (xÎR, x ¹ p/2 + pn, nÎZ).
2. E (y) =R.
3. Функция y = tgx - нечетная
4. Т = p - наименьший положительный период.
5. Промежутки знакопостоянства:
tgx > 0 при хÎ (pn; p/2 + pn;), nÎZ;
tgx < 0 при xÎ (-p/2 + pn; pn), nÎZ.
Знаки тангенса по четвертям смотри на рисунке.
6. Промежутки монотонности:
y = tgx возрастает на каждом из промежутков
(-p/2 + pn; p/2 + pn),
nÎz.
7. Точки экстремума и экстремумы функции:
нет.
8. x = p/2 + pn, nÎz - вертикальные асимптоты
Свойства функции у = ctgx и ее график:
Свойства:
1. D (y) = (xÎR, x ¹ pn, nÎZ). 2. E (y) =R.
3. Функция y = ctgx - нечетная.
4. Т = p - наименьший положительный период.
5. Промежутки знакопостоянства:
ctgx > 0 при хÎ (pn; p/2 + pn;), nÎZ;
ctgx < 0 при хÎ (-p/2 + pn; pn), nÎZ.
Знаки котангенса по четвертям смотри на рисунке.
6. Функция у = ctgx возрастает на каждом из промежутков (pn; p + pn), nÎZ.
7. Точек экстремума и экстремумов у функции у = ctgx нет.
8. Графиком функции у = ctgx является тангенсоида, полученная сдвигом графика y= tgx вдоль оси Ох влево на p/2 и умножением на (-1) (рис)
Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики
Обра́тные тригонометри́ческие фу́нкции (круговые функции, аркфункции) - математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям. К обратным тригонометрическим функциям обычно относят шесть функций: аркси́нус, аркко́синус, аркта́нгенс, арккотангес. Название обратной тригонометрической функции образуется от названия соответствующей ей тригонометрической функции добавлением приставки "арк-" (от лат. arc - дуга). Это связано с тем, что геометрически значение обратной тригонометрической функции можно связать с длиной дуги единичной окружности (или углом, стягивающим эту дугу), соответствующей тому или иному отрезку. Изредка в иностранной литературе пользуются обозначениями типа sin−1 для арксинуса и т.п.; это считается не совсем корректным, так как возможна путаница с возведением функции в степень −1. Основное соотношение
Функция y=arcsinX, её свойства и графики.
Арксинусом числа m называется такой угол x, для которого
Функция y = sinx непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция y = arcsinx является строго возрастающей. 
(функция является нечётной). 
Функция y=arccosX, её свойства и графики.
Арккосинусом числа m называется такой угол x, для которого
Функция y = cosx непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция y = arccosx является строго убывающей. cos (arccosx) = x при
arccos (cosy) = y при 
D (arccosx) = [− 1; 1], (область определения), E (arccosx) = [0; π]. (область значений). Свойства функции arccos 
(функция центрально-симметрична относительно точки 
Функция y=arctgX, её свойства и графики.
Арктангенсом числа m называется такой угол α, для которого
Функция 
непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция является строго возрастающей. 
при 
при 
Свойства функции arctg
, 
.
Функция y=arcctg, её свойства и графики.
Арккотангенсом числа m называется такой угол x, для которого
Функция
непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой.Функция
является строго убывающей. 
при 
при 0 < y < π 
Свойства функции arcctg 
(график функции центрально-симметричен относительно точки 
при любых x.