Действительные числа Иррациональные и тригонометрический уравнения (стр. 5 из 6)

.

Простейшие тригонометрические уравнения.

Определение. Уравнения вада sin x = a; cos x = a; tg x = a; ctg x = a, где x - переменная, a

R, называются простейшими тригонометрическими уравнениями.

Частные случаи тригонометрических уравнений

Определение. Уравнения вада sin x = a; cos x = a; tg x = a; ctg x = a, где x - переменная, a

R, называются простейшими тригонометрическими уравнениями.

Тригонометрические уравнения

Аксиомы стереометрии и следствия из них

Основные фигуры в пространстве: точки, прямые и плоскости. Основные свойства точек, прямых и плоскостей, касающиеся их взаимного расположения, выражены в аксиомах.

А1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости

	АB Прямая АВ лежит в плоскости
рис.5

Замечание. Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что они пересекаются.

	а = М Прямая а и плоскость пересекаются в точке М.
Рис.6

А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

	= a и пересекаются по прямой а.
рис.7

Следствие 1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна. Следствие 2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Две прямые, заданные уравнениями

или

пересекаются в точке.

Параллельность прямой и плоскости.

Определение 2.3 Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек. Если прямая a параллельна плоскости α, то пишут a || α. Теорема 2.4 Признак параллельности прямой и плоскости. Если прямая вне плоскости параллельна какой-нибудь прямой на плоскости, то эта прямая параллельна и самой плоскости. Доказательство Пусть b

α, a || b и a α (чертеж 2.2.1). Доказательство проведем от противного. Пусть a не параллельна α, тогда прямая a пересекает плоскость α в некоторой точке A. Причем A b, так как a || b. Согласно признаку скрещивающихся прямых прямые a и b скрещивающиеся. Мы пришли к противоречию. Теорема 2.5 Если плоскость β проходит через прямую a, параллельную плоскости α, и пересекает эту плоскость по прямой b, то b || a. Доказательство Действительно, прямые a и b не являются скрещивающимися, так как они лежат в плоскости β. Кроме того, эти прямые не имеют общих точек, так как a || α. Определение 2.4 Прямую b иногда называют следом плоскости β на плоскости α.

Скрещивающиеся прямые. Признак скрещивающихся прямых

Прямые называются скрещивающимися при выполнении следующего условия: Если представить, что одна из прямых принадлежит произвольной плоскости, то другая прямая будет пересекать эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой. Иными словами, две прямые в трёхмерном евклидовом пространстве скрещиваются, если не существует плоскости, их содержащей. Проще говоря, две прямые в пространстве, не имеющие общих точек, но не являющиеся параллельными.

Теорема (1): Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

Теорема (2): Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

Теорема (3): Если стороны двух углов соответственно сонаправлены, то такие углы равны.

Параллельность прямых. Свойства параллельных плоскостей.

Параллельными (иногда - равнобежными) прямыми называются прямые, которые лежат в одной плоскости и либо совпадают, либо не пересекаются. В некоторых школьных определениях совпадающие прямые не считаются параллельными, здесь такое определение не рассматривается. Свойства Параллельность - бинарное отношение эквивалентности, поэтому разбивает всё множество прямых на классы параллельных между собой прямых. Через любую точку можно провести ровно одну прямую, параллельную данной. Это отличительное свойство евклидовой геометрии, в других геометриях число 1 заменено другими (в геометрии Лобачевского таких прямых минимум две) 2 параллельные прямые в пространстве лежат в одной плоскости. б При пересечении 2 параллельных прямых третьей, называемой секущей: Секущая обязательно пересекает обе прямые. При пересечении образуется 8 углов, некоторые характерные пары которых имеют особые названия и свойства: Накрест лежащие углы равны. Соответственные углы равны. Односторонние углы в сумме составляют 180°.

Перпендикулярность прямой и плоскости.

Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой, которая лежит в данной плоскости и проходит через точку пересечения.

ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ.

Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум прямым в этой плоскости, проходящим через точку пересечения данной прямой и плоскости, то она перпендикулярна плоскости.

1-ое СВОЙСТВО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ.

Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

2-ое СВОЙСТВО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ.

Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.

Теорема о трех перпендикулярах

Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна её проекции, то она перпендикулярна и наклонной.

Пусть AB - перпендикуляр к плоскости α, AC - наклонная и c - прямая в плоскости α, проходящая через точку C и перпендикулярная проекции BC. Проведем прямую CK параллельно прямой AB. Прямая CK перпендикулярна плоскости α (так как она параллельна AB), а значит, и любой прямой этой плоскости, следовательно, CK перпендикулярна прямой c. Проведем через параллельные прямые AB и CK плоскость β (параллельные прямые определяют плоскость, причем только одну). Прямая c перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости β, это BC по условию и CK по построению, значит, она перпендикулярна и любой прямой, принадлежащей этой плоскости, значит, перпендикулярна и прямой AC.

Обратная теореме о трех перпендикулярах

Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и её проекции.