Матрицы и линейные операции над ними. Умножение матриц (стр. 3 из 10)

Два вектора называются компланарными если они находятся в разных плоскостях и не пересекаются.

12. Декартовая прямоугольная система координат определяется заданием линейной единицы для измерения длин и двух взаимно перпендикулярных осей, занумерованных в каком – нибудь порядке. Точка пересечения осей называется началом координат, а сами оси – координатными осями. Первая из координатных осей называется осью абсцисс, а вторая – осью ординат. Начало координат обозначают буквой О, ось абсцисс – символом ОХ, ось ординат – символом ОУ. Координатами произвольной точки М в заданной системе называют числа Х = ОМх, У = ОМу, где Мх и Му суть проекции точки М на оси ОХ и ОУ, ОМх обозначает величину отрезка ОМх оси абсцисс, ОМу – величину отрезка ОМу оси ординат. Число Х называется абсциссой точки М, число У называется ординатой этой же точки. Символ М (Х; У) обозначает, что точка М имеет абсциссой число Х, а ординатой число У. Ось ОУ разделяет всю плоскость на две полуплоскости; та из них, которая расположена в положительном направлении оси ОХ, называется правой, другая – левой. Точно так же ось ОХ разделяет плоскость на две полуплоскости; та из них, которая расположена в положительном направлении оси ОУ, называется верхней, другая нижней.

Обе координатные оси вместе разделяют плоскость на четыре четверти, которые номеруют по следующему правилу: первой координатной четвертью называется та, которая лежит одновременно в правой и в верхней полуплоскости, второй – лежащая в левой и в верхней полуплоскости, третьей – лежащая в левой ив нижней полуплоскости, четвертой – лежащая в правой и в нижней полуплоскости.

13. Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор, обозначаемый символом [ ab ] и определяемый следующими тремя условиями: 1) модуль вектора [ ab ] равен ïaï× ïbï sin j, где j - угол между векторами a и b; 2) вектор [ ab ] не

неперпендикулярен к каждому из векторов a и b; 3) направление вектора [ab] соответствует «правилу правой руки». Это означает, что если вектор a, b и [ab] приведены к общему началу, то вектор [ab] должен быть направлен так, как направлен средний палец правой руки, большой палец которой направлен по первому сомножителю (т. е. по вектору a), а указательный – по второму (т. е. по вектору b). Векторное произведение зависит от порядка сомножителей, именно: [ab] = -[ab]. Модуль векторного произведения [ab] равен S параллелограмма, построенного на векторах a и b: ê[ab] ê = S. Само векторное произведение может быть выражено формулой [ab] = Se, где e – орт векторного произведения. Векторное произведение [ab] обращается в нуль тогда и только тогда, когда векторы a и b коллинеарны. В частности [aa ] = 0. Если система координатных осей правая и векторы a и b заданы в этой системе своими координатами: a = {X1; Y1; Z1}, b = {X2;Y2;Z2}, то векторное произведение вектора a на вектор b определяется формулой [ab] =

Свойства:1) aa =q

2) ab = (ba) 3) a(b1 + b2) = ab1 + ab2 4) (la)b = a(lb) = l(ab).

Смешанное произведение. Пусть даны a(X1; Y1; Z1), b(X2; Y2; Z2), c(X3; Y3; Z3).

Смешанным произведением трех векторов a, b, c называется число, равное векторному произведению [ab], умноженному скалярно на вектор c, т. е. [ab]c. Именно место тождество: [ab]c = a[bc], ввиду чего для обозначения смешанного произведения [ab]c употребляется более простой символ: abc. Таким образом, a,b,c = [ab]c, abc = a [bc]. Смешанное произведение abc равно объему параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c, взятому со знаком плюс. Если векторы a,b,c компланарны (и только в этом случае), смешанное произведение abc рано нулю; иначе говоря, равенство abc = 0, есть необходимое и достаточное условие ком планарности векторов a,b,c. Если векторы a,b,c заданы своими координатами: a ={X1; Y1; Z1}, b = {X2; Y2; Z2}, c = {X3;Y3;Z3;}

14. Простейшие задачи аналитической геометрии. 1) Вычислим расстояние между двумя точками на плоскости:

2) Деление отрезков в данном отношении. Пусть на плоскости даны две точки с координатами М1(X1;Y1) и M2(X2;Y2). Найти координаты точки М лежащей между М1 и М2 на отрезке М1М2, если выполняется условие:

. Проекции точки М на ось абсцисс будет делить отрезок X1X2 в той же самой проекции, потому , l1X2 - l1X = l2X - l2X1. Аналогичным образом можно получить, что , , ,

15. Полярные координаты.

Полярная система координат определяется заданием некоторой точки О, называемой полюсом, луча ОА, исходящего из этой точки, называемого полярной осью, и масштаба для измерения длин. Кроме того, при задании полярной системы должно быть сказано, какие повороты вокруг точки О считаются положительными. Полярными координатами произвольной точки М (относительно заданной системы) называются числа r = ОМ и q < АОМ. Угол q при этом следует понимать так, как принято в тригонометрии. Число r называется первой координатой, или полярным радиусом, число q- второй координатой, или полярным углом точки М. Символ М (r;q) обозначает, что точка М имеет полярные координаты r и q. Полярный угол q имеет бесконечно много возможных значений. Значение полярного угла, удовлетворяющее неравенствам -p < q ≤ +p, называется главным. В случаях одновременного рассмотрения декартовой и полярной систем координат условимся: 1) пользоваться одним и тем же масштабом, 2)при определении полярных углов считать положительными повороты в том направлении, в каком следует вращать положительную полуось абсцисс, чтобы кратчайшим путем совместить ее с положительной полуосью ординат. При этом условии, если полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольных координат, а полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс, то переход от полярных координат произвольной точки к декартовым координатам той же точки осуществляется по формулам

cosq, sinq. В этом же случае формулы , tgq = являются формулами перехода от декартовых координат к полярным. При одновременном рассмотрении в дальнейшем двух полярных систем координат условимся считать направление положительных поворотов и масштабов для обеих систем одинаковыми.

16. Различные виды уравнения прямой.

Рассмотрим прямую проходящую через точки М1М2, пусть М произвольная точка лежащая на этой прямой тогда векторы ММ2 и М1М являются коллинеарными. Вектор ММ2 = (X2 – X; Y2 – Y), M1M = (X - X1; Y – Y1). Из условия коллинеарности векторов, следует, что

1). 1) - уравнение прямой, проходящей через две заданные точки пусть X2 – X1 = K, Y2 – Y1 = L, тогда вектор a = (K; L) параллельна данной прямой направляющий вектор 1) может быть записано в виде: 2). 2) - уравнением прямой проходящей через данную точку М1 в заданном направлении 2) каноническим уравнением прямой. Если три точки М1, М2 и М лежат на одной прямой, то площадь треугольника равна нулю. 3). 3) – уравнение прямой в виде определителя приравняем отношение равенства 1) к некоторому числу T. X - X1 = (X2 – X) T, X –X1 = KT; Y – Y1 = (Y2 –Y1) T, Y – Y1 = LT. (X = X1 + KT , Y = Y1 + LT 4)). 4) – называется параметрическим уравнением. Пусть на плоскости заданы две точки A и B, лежащие на координатных осях A(a; 0), B(b; 0). Найдем уравнение прямой проходящей через точки A и B. ; ; - 5) . 5) – называется уравнением прямой на отрезке.