Конгруэнции Фраттини универсальных алгебр (стр. 3 из 7)

В частности, если

, то централизатор в будем обозначать .

Лемма 2.2 Пусть

, --- конгруэнции на алгебре , , , . Тогда справедливы следующие утверждения:

1)

;

2)

, где ;

3) если выполняется одно из следующих отношений:

4) из

всегда следует

Доказательство:

1) Очевидно, что

--- конгруэнция на , удовлетворяющая определению 2.1. В силу пункта 1) леммы 2.1. и .

2)

--- конгруэнция на , удовлетворяющая определению

2.1. Значит

3) Пусть

.

Тогда

Применим к последним трем соотношениям мальцевский оператор

такой, что

Тогда получим

т.е.

Аналогичным образом показываются остальные случаи из пункта 3).

4) Пусть

Тогда справедливы следующие соотношения:

Следовательно,

где

--- мальцевский оператор.

Тогда

то есть

.

Так как

то

.

Таким образом

. Лемма доказана.

Следующий результат оказывается полезным при доказательстве последующих результатов.

Лемма. 2.3 Любая подалгебра алгебры

, содержащая диагональ , является конгруэнцией на алгебре .

Доказательство:

Пусть

Тогда из

следует, что

Аналогичным образом из

получаем, что

Итак,

симметрично и транзитивно. Лемма доказана.

Лемма 2.4 Пусть

. Тогда для любой конгруэнции на алгебре .

Доказательство:

Обозначим

и определим на алгебре бинарное отношение следующим образом:

тогда и только тогда, когда

где

Используя лемму 2.3, нетрудно показать, что

--- конгруэнция на алгебре , причем

Пусть

то есть

Тогда

и, значит

Пусть, наконец, имеет место

Тогда справедливы следующие соотношения:

применяя мальцевчкий оператор

к этим трем соотношениям, получаем

Из леммы 2.2 следует, что

Так как

то

Значит,

Но

, следовательно, .

Итак,

и удовлетворяет определению 2.1. Лемма доказана.

Лемма 2.5 Пусть

, --- конгруэнции на алгебре , и --- изоморфизм, определенный на .