Будем в дальнейшем рассматривать алгебры с условием максимальности и минимальности для подалгебр.
Теорема Конгруэнция
универсальной алгебры
является фраттиниевой тогда и только тогда, когда для любой максимальной подалгебры
из
имеет место равенство
. Доказательство:
Пусть

--- фраттиниева конгруэнция алгебры

и

--- максимальная подалгебра из

.
Так как

и

, то

.
Обратно. Пусть

удовлетворяет свойству

и пусть

--- любая собственная подалгебра алгебры

.
Так как выполняется условие максимальности для подалгебр, то найдется такая максимальная подалгебра

алгебры

, что

, но

.
Тем самым теорема доказана.
Определение 3.3 Пусть

--- конгруэнция на универсальной алгебре

, тогда

называется конгруэнцией,
порожденной конгруэнцией 
, если

тогда и только тогда, когда существуют

такие, что

.
Определение 3.4 Конгруэнцией Фраттини универсальной алгебры

назовем конгруэнцию, порожденную всеми фраттиниевыми конгруэнциями алгебры

и будем обозначать

.
Теорема Конгруэнция Фраттини является фраттиниевой конгруэнцией.
Доказательство:
Из теоремы следует, что достаточно показать выполнимость следующего равенства

, где

--- произвольная подалгебра алгебры

. Напомним, что

Так как

, то существует такая конечная последовательность фраттиниевых конгруэнций

, что

. Это означает, что существует последовательность элементов, что

.
Так как

и

, то

. Аналогичным образом получаем, что

.
Следовательно,

.
Теорема доказана.
Напомним следующее определение из книги.
Определение 3.5 Пусть

--- множество всех максимальных подалгебр алгебры

,

--- конгруэнция алгебры

, порожденная всеми такими конгруэнциями

на

, что

,

.
Лемма 3.1 Конгруэнция

является фраттиниевой конгруэнцией на

и всякая фраттиниева конгруэнция на

входит в

.
Доказательство:
Пусть

--- произвольная собственная подалгебра алгебря

. Тогда найдется такая максимальная в

подалгебра

, что

. Значит,

и тем более

. Следовательно,

фраттиниева конгруэнция на

.
Пусть теперь

--- произвольная фраттиниева алгебры

,

--- произвольная максимальная подалгебра из

. Тогда

, т.е.

. Следовательно,

. Лемма доказана.
Определение 3.6 Подалгебра Фраттини универсальной алгебры

называется пересечение всех максимальных подалгебр из

, и обозначается через

.
Теорема Пусть
--- алгебра. Тогда
. Доказательство:
От противного. Предположим, что

. Тогда существует элемент

такой, что

не принадлежит

. Так как

, то существует

и, следовательно,

для любой максимальной подалгебры

и

--- фраттиниева. Значит,

принадлежит любой максимальной подалгебре из

. Следовательно,

. Теорема доказана.