Конгруэнции Фраттини универсальных алгебр (стр. 7 из 7)
Лемма 3.2 Пусть
--- максимальная подалгебра алгебры 
такая, что 
, где 
, тогда 
.Доказательство:
Определим бинарное отношение
на алгебре 
следующим образом: 
тогда и только тогда, когда существует элементы 
и 
.Как показано в работе
--- конгруэнция на алгебре .Покажем, что
, т.е. является смежным классом по конгруэнции 
.Пусть
и пусть 
. В силу определения найдутся такие элементы 
и 
, что 
Применим мальцевский оператор
. Отсюда получаем 
Следовательно,
.Лемма доказана.
Лемма 3.3 Пересечение нормальных подалгебр алгебры
является нормальной подалгеброй алгебры 
.Теорема Подалгебра Фраттини нильпотентной алгебры 
нормальна в .
Доказательство:
Пусть алгебра
--- нильпотентна, тогда она обладает таким рядом конгруэнций, 
, где 
. Очевидно, что для любой максимальной подалгебры 
алгебры всегда найдется такой номер 
, что 
и 
.По лемме 3.2.
. Отсюда следует, что 
. Так как пересечение нормальных подалгебр является нормальной подалгеброй, то 
.Теорема доказана.
Заключение
В данной курсовой работе приведены с доказательствами результаты работ[2], касающееся свойств централизаторов конгруэнций. А также на основе введенного здесь понятия - конгруэнции Фраттини, устанавливаются некотоые свойства подалгебры Фраттини - универсальной алгебры. В частности, доказано, что подалгебра Фраттини нильпотентной алгебры
нормальна в .Список использованной литературы
Шеметков Л. А., Скиба А. Н., Формации алгебраических систем. --- М.: Наука, 1989. -- 256с.
Ходалевич А. Д., Универсальные алгебры с
-центральными рядами конгруэнций// Известия АН Беларуси. Сер. физ.-мат. наук, 1994. N1. с.30--34Smith J. D. Mal'cev Varieties // Lect. Notes Math. 1976. V.554.
Hodalevich A. D., Maximal Subalgebras of universal algebras --- Manuscript, 1994.