Конгруэнции Фраттини универсальных алгебр (стр. 1 из 7)
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
Учреждение образования
"Гомельский государственный университет
имени Франциска Скорины"
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Курсовая работа
КОНГРУЭНЦИИ ФРАТТИНИ УНИВЕРСАЛЬНЫХ АЛГЕБР
Исполнитель:
студентка группы H.01.01.01 М-43
Селюкова Н.В.
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук,
профессор кафедры Алгебры и геометрии
Монахов В. С.
Гомель 2004
Содержание
Введение
1. Основные определения, обозначения и используемые результаты
2. Свойства централизаторов конгруэнции универсальных алгебр
3. Конгруэнция Фраттини, подалгебра Фраттини и их свойства
Список литературы
Введение
Одно из направлений исследований самых абстрактных алгебраических систем, в частности, универсальных алгебр, связано с изучением, определенным образом выделенных подсистем таких систем. Например, в группах - это силовские подгруппы, подгруппа Фраттини, подгруппа Фиттинга, в алгебрах Ли --- это подалгебра Картана, Фраттини и т.д. Разработка новых методов исследований мультиколец, универсальных алгебр, нашедших свое отображение в книге Л. А. Шеметкова и А. Н. Скибы ``Формации алгебраических систем''(1), дает мощный импульс в реализации этого направленияи в универсальных алгебрах. В этой курсовой работе решается задача, связанная с изучением свойств подалгебр Фраттини и конгруэнции Фраттини универсальных алгебр, принадлежащих некоторому фиксированному мальцевскому многообразию. В частности, получены новые результаты, указывающие на связь подалгебры Фраттини с фраттиниевой конгруэнцией (теоремы (4)и(5)). Установлено одно свойство подалгебры Фраттини нильпотентной алгебры (теорема(2)). Как следствие, из полученных результатов следуют аналогичные результаты теории групп и мультиколец.
Перейдем к подробному изложению результатов курсовой работы, состоящей из введения, трех параграфов и списка литературы, состоящего из пяти наименований.
1 носит вспомагательный характер. Здесь приведены все необходимые определения, обозначения и используемые в дальнейшем результаты. 2 носит реферативный характер. Здесь приводятся с доказательствами результаты работ , касающееся свойств централизаторов конгруэнций. 3 является основным. На основе введенного здесь понятия --- конгруэнции Фраттини, устанавливаются некотоые свойства подалгебры Фраттини универсальной алгебры. В частности, доказывается, что подалгебра Фраттини нильпотентной алгебры 
нормальна в (теорема(3)).1. Основные определения и используемые результаты
Определение 1.1 Пусть
--- некоторое непустое множество и пусть 
, отображение 
-ой декартовой степени в себя, тогда 
называют -арной алгебраической операцией. Определение 1.2 Универсальной алгеброй называют систему
состоящую из некоторого множества с заданной на нем некоторой совокупностью операций 
. Определение 1.3 Пусть
--- некоторая универсальная алгебра и 
( 
), тогда 
называют подалгеброй универсальной алгебры , если замкнута относительно операций из .• Для любой операции
, где 
и 
.• Для любой операции
элемент 
фиксируемый этой операцией в принадлежит 
. Определение 1.4 Всякое подмножество
называется бинарным отношением на . Определение 1.5 Бинарное отношение называется эквивалентностью, если оно:
• рефлексивно
• транзитивно
и 
• симметрично
Определение 1.6 Пусть
некоторая эквивалентность на , тогда через 
обозначают множество 
. Такое множество называют класс разбиения по эквивалентности содержащий элемент 
. Множество всех таких классов разбиения обозначают через 
и называют фактормножеством множества по эквивалентности .Определим
-арную операцию на фактормножестве следующим образом:
Определение 1.7 Эквивалентность
на алгебре называется ее конгруэнцией на , если выполняется следующее условие:Для любой операции
для любых элементов 
таких, что 
имеет место 
. Определение 1.8 Если
и 
--- конгруэнции на алгебре , 
, то конгруэнцию 
на алгебре назовем фактором на . 
тогда и только тогда, когда 
. 
или 
или 1 --- соответственно наименьший и наибольший элементы решетки конгруэнций алгебры .