Смекни!
smekni.com

Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр (стр. 2 из 7)

Будем пользоваться следующим определением централизуемости конгруэнций, эквивалентность которого определению Смита [5] доказана в работе [6].

Определение 2.1. Пусть

и
- конгруэнции на алгебре
. Тогда
централизует
(записывается:
), если на
существует такая конгруэнция
, что:

1) из

всегда следует
;

2) для любого элемента

всегда выполняется

3) если

, то
.

Следующие свойства централизуемости, полученные Смитом [5], сформулируем в виде леммы.

Лемма 2.1. Пусть

. Тогда:

существует единственная конгруэнция
, удовлетворяющая определению 2.1;

;

если
, то
.

Из леммы 2.1 и леммы Цорна следует, что для произвольной конгруэнции

на алгебре
существует такая единственная наибольшая конгруэнция
, что
. Эту конгруэнцию
будем называть централизатором конгруэнции
в
и обозначать
.

Лемма 2.2. Пусть

- конгруэнции на алгебре
,
,
,
. Тогда справедливы следующие утверждения:

;

, где
;

если,
, либо

, либо

, то всегда
;

из
всегда следует
.

Доказательство. 1). Очевидно, что

- конгруэнция на
, удовлетворяющая определению 1. Значит, в силу п.1) леммы 2.1
.

2).

- конгруэнция на
, удовлетворяющая определению 2.1. Значит,
.

3). Пусть

. Тогда

Применим к последним трем соотношениям мальцевский оператор

такой, что
, для любых элементов
. Тогда получим

Аналогичным образом доказываются остальные случаи п.3).

4). Пусть

. Тогда справедливы следующие соотношения:

Следовательно,

, где
- мальцевский оператор. Тогда
, т.е.
. Так как
и
, то
. Таким образом
. Лемма доказана.

В дальнейшем мы будем часто ссылаться на следующий хорошо известный факт (доказательство см., например [6]).

Лемма 2.3. Любая подалгебра алгебры

, содержащая конгруэнцию
, является конгруэнцией на
.