Будем пользоваться следующим определением централизуемости конгруэнций, эквивалентность которого определению Смита [5] доказана в работе [6].
Определение 2.1. Пусть
и - конгруэнции на алгебре . Тогда централизует (записывается: ), если на существует такая конгруэнция , что:1) из
всегда следует ;2) для любого элемента
всегда выполняется3) если
, то .Следующие свойства централизуемости, полученные Смитом [5], сформулируем в виде леммы.
Лемма 2.1. Пусть
. Тогда: существует единственная конгруэнция , удовлетворяющая определению 2.1; ; если , то .Из леммы 2.1 и леммы Цорна следует, что для произвольной конгруэнции
на алгебре существует такая единственная наибольшая конгруэнция , что . Эту конгруэнцию будем называть централизатором конгруэнции в и обозначать .Лемма 2.2. Пусть
- конгруэнции на алгебре , , , . Тогда справедливы следующие утверждения: ; , где ; если, , либо , либо , то всегда ; из всегда следует .Доказательство. 1). Очевидно, что
- конгруэнция на , удовлетворяющая определению 1. Значит, в силу п.1) леммы 2.1 .2).
- конгруэнция на , удовлетворяющая определению 2.1. Значит, .3). Пусть
. ТогдаПрименим к последним трем соотношениям мальцевский оператор
такой, что , для любых элементов . Тогда получимАналогичным образом доказываются остальные случаи п.3).
4). Пусть
. Тогда справедливы следующие соотношения:Следовательно,
, где - мальцевский оператор. Тогда , т.е. . Так как и , то . Таким образом . Лемма доказана.В дальнейшем мы будем часто ссылаться на следующий хорошо известный факт (доказательство см., например [6]).
Лемма 2.3. Любая подалгебра алгебры
, содержащая конгруэнцию , является конгруэнцией на .