Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр (стр. 3 из 7)
Доказательство следующего результата работы [5] содержит пробел (следствие 224 [5] неверно, см. [7]), поэтому докажем его.
Лемма 2.4. Пусть
. Тогда для любой конгруэнции 
на 
Доказательство. Обозначим
и определим на алгебре 
бинарное отношение 
следующим образом: 
тогда и только тогда, когда
, где 
, 
. Используя лемму 2.3, нетрудно показать, что - конгруэнция на алгебре 
, причем 
.Пусть
, т.е. , 
. Тогда 
и, значит, 
.Пусть, наконец, имеет место
и 
. Тогда справедливы следующие соотношения: 
Применяя мальцевский оператор
к этим трем соотношениям, получаем: 
. Из леммы 2.2 следует, что 
. Так как 
и 
, то 
. Значит, 
. Но 
, следовательно, 
. Итак, 
и удовлетворяет определению 2.1. Лемма доказана.Лемма 2.5. Пусть
и 
- конгруэнции на алгебре , 
и 
- изоморфизм, определенный на 
. Тогда для любого элемента 
отображение 
определяет изоморфизм алгебры 
на алгебру 
, при котором 
. В частности, 
.Доказательство. Очевидно, что
- изоморфизм алгебры 
на алгебру , при котором конгруэнции , изоморфны соответственно конгруэнциям 
и 
. Так как , то определена конгруэнция 
, удовлетворяющая определению 2.1. Изоморфизм алгебры на алгебру индуцирует в свою очередь изоморфизм 
алгебры 
на алгебру 
такой, что 
для любых элементов 
и 
, принадлежащих 
. Но тогда легко проверить, что 
- конгруэнция на алгебре изоморфная конгруэнции 
. Это и означает, что 
. Лемма доказана.Если
и 
- факторы на алгебре такие, что 
, то конгруэнцию 
обозначим через 
и назовем централизатором фактора 
в .Напомним, что факторы
и 
на алгебре называются перспективными, если либо 
и 
, либо 
и 
.Докажем основные свойства централизаторов конгруэнций.
Теорема 2.1. Пусть
- конгруэнции на алгебре . Тогда: 
если 
, то 
; 
если 
, то 
; 
; 
если , 
и факторы , перспективны, то 
если 
- конгруэнции на 
и 
, то