Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр (стр. 4 из 7)

Доказательство. 1). Так как конгруэнция

централизует любую конгруэнцию и , то .

2). Из п.1) леммы 2.2 следует, что

, а в силу леммы 2.4 получаем, что .

Пусть

- изоморфизм . Обозначим

По лемме 2.5

, а по определению

Следовательно,

.

3). Очевидно, достаточно показать, что для любых двух конгруэнций

и на алгебре имеет место равенство:

Покажем вначале, что

Обозначим

. Тогда, согласно определения 2.1, на алгебре существует такая конгруэнция , что выполняются следующие свойства:

а) если

, то ;

б) для любого элемента

, ;

в) если

и , то .

Построим бинарное отношение

на алгебре следующим образом:

тогда и только тогда, когда

и , . Покажем, что - конгруэнция на . Пусть , . Тогда и , . Так как - конгруэнция, то для любой -арной операции имеем:

Очевидно, что (

, и , . Следовательно, . Очевидно, что для любой пары . Значит, . Итак, по лемме 2.3, - конгруэнция на . Покажем теперь, что удовлетворяет определению 2.1, т.е. централизует .

Пусть

Тогда

и . Так как , и , то . Следовательно, удовлетворяет определению 2.1.

Если

, то , значит,

Пусть, наконец, имеет место (1) и

Тогда

. Так как и , то , следовательно, . Из (2) следует, что , а по условию . Значит, и поэтому . Тем самым показано, что конгруэнция удовлетворяет определению 2.1, т.е. централизует . Докажем обратное включение. Пусть . Тогда на алгебре определена конгруэнция , удовлетворяющая определению 2.1. Построим бинарное отношение на алгебре следующим образом:

тогда и только тогда, когда

и

, . Аналогично, как и выше, нетрудно показать, что - конгруэнция на алгебре . Заметим, что из доказанного включения следует, что . Покажем поэтому, что централизует . Так как , и , то , т.е. удовлетворяет условию 1) определения 2.1.