Если
, то , следовательно, .Пусть имеет место (3) и
. Так как , , то и . Из (4) следует, что , следовательно, , т.е. . На основании леммы 2.2 заключаем, что . Следовательно, . Но так как , то , т.е. .4) Обозначим
. Пусть и удовлетворяет определению 2.1. Определим бинарное отношение на следующим образом тогда и только тогда, когда . Аналогично, как и выше, нетрудно показать, что - конгруэнция, удовлетворяющая определению 2.1. Это и означает, что . Теорема доказана.Как следствие, из доказанной теоремы получаем аналогичные свойства централизаторов в группах и мультикольцах.
3 Мультикольцо
Согласно [2] алгебра
сигнатуры называется мультикольцом,если алгебра -группа(не обязательно абелева).Все операции из имеют ненулевые арности и для любой -арной операции и любых элементов имеет место = ,для любого . Заметим,что мультикольцо является дистрибутивной -группой в смысле определения Хиггинса [10] или мультиоператорной группой согласно А.Г.Куроша [9]. Для мультиколец справедливы следующие равенства:где
,как обычно, обозначается элемент,противоположный к элементу .Докажем,например,первое равенство.
Прибавляя к обеим частям равенства элемент,противоположный к элементу
получаем требуемое равенство.
Определение. Подалгебра
мультикольца называется идеалом [9],если -нормальная подгруппа группы и для любой -арной операции , произвольного и любых , имеет местоВ частности,если
-нульарная или унарная операция,то это означает,чтоКак следует из примера [8] конгруэнции на мультикольце перестановочны. Следующая теорема устанавливает соответствие между идеалами и конгруэнциями мультикольца.
Теорема 3.1 [2] Пусть
-идеал мультикольца иТогда
-конгуэнция на и любая конгруэнция на имеет такой вид для подходящего идеала .Доказательство.
Так как
то
. Покажем,что -подалгебра алгебры .Проверим вначале замкнутость относительно групповых операций. Пусть , т.е. . Тогда в силу того,что ,получаемт.е.
т.е.
. Пусть теперь -n-арная операция и , Так как -идеал,то получаемт.е.
. Теперь из леммы [8] следует,что -конгруэнция на . Обратно,пусть -конгруэнция на . ПоложимИз [8] следует,что
-нормальная подгруппа группы . Аналогичным образом,как и в [8],показывается,что -идеал мультикольца . Теорема доказана.