Смекни!
smekni.com

Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр (стр. 5 из 7)

Если

, то
, следовательно,
.

Пусть имеет место (3) и

. Так как
,
, то
и
. Из (4) следует, что
, следовательно,
, т.е.
. На основании леммы 2.2 заключаем, что
. Следовательно,
. Но так как
, то
, т.е.
.

4) Обозначим

. Пусть
и удовлетворяет определению 2.1. Определим бинарное отношение
на
следующим образом
тогда и только тогда, когда
. Аналогично, как и выше, нетрудно показать, что
- конгруэнция, удовлетворяющая определению 2.1. Это и означает, что
. Теорема доказана.

Как следствие, из доказанной теоремы получаем аналогичные свойства централизаторов в группах и мультикольцах.


3 Мультикольцо

Согласно [2] алгебра

сигнатуры
называется мультикольцом,если алгебра
-группа(не обязательно абелева).Все операции из
имеют ненулевые арности и для любой
-арной операции
и любых элементов
имеет место
=
,для любого
. Заметим,что мультикольцо является дистрибутивной
-группой в смысле определения Хиггинса [10] или мультиоператорной группой согласно А.Г.Куроша [9]. Для мультиколец справедливы следующие равенства:

где

,как обычно, обозначается элемент,противоположный к элементу
.

Докажем,например,первое равенство.

Прибавляя к обеим частям равенства элемент,противоположный к элементу

получаем требуемое равенство.

Определение. Подалгебра

мультикольца
называется идеалом [9],если
-нормальная подгруппа группы
и для любой
-арной операции
, произвольного
и любых
,
имеет место

В частности,если

-нульарная или унарная операция,то это означает,что

Как следует из примера [8] конгруэнции на мультикольце перестановочны. Следующая теорема устанавливает соответствие между идеалами и конгруэнциями мультикольца.

Теорема 3.1 [2] Пусть

-идеал мультикольца
и

Тогда

-конгуэнция на
и любая конгруэнция на
имеет такой вид для подходящего идеала
.

Доказательство.

Так как

то

. Покажем,что
-подалгебра алгебры
.Проверим вначале замкнутость
относительно групповых операций. Пусть
, т.е.
. Тогда в силу того,что
,получаем


т.е.

т.е.

. Пусть теперь
-n-арная операция и
,
Так как
-идеал,то получаем

т.е.

. Теперь из леммы [8] следует,что
-конгруэнция на
. Обратно,пусть
-конгруэнция на
. Положим

Из [8] следует,что

-нормальная подгруппа группы
. Аналогичным образом,как и в [8],показывается,что
-идеал мультикольца
. Теорема доказана.