Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр (стр. 6 из 7)

Следствие 3.2. Решетка идеалов мультикольца

изоморфна решетке его конгруэнций.

Определение 3.3 [3].Пусть

-идеал мультикольца .Тогда централизатором в называется наибольший идеал в такой,что для любого и любого выполняются следующие условия:

1)

;

2) для любой

-арной операции ,любых различных ,произвольных справедливо

Теорема 3.4. Пусть

и -идеалы мультикольца и . Тогда и индуцируют на соответственно конгруэнции и , где

тогда

Доказательство :

Определим бинарное отношение

на следующим образом тогда и только тогда, когда найдутся такие элементы и ,что справедливы равенства

Очевидно,что

-отношенме эквивалентности на , удовлетворяющее условиям 1)-3) определения 2.1.,замкнутость которого относительно групповых операций доказана в примере [8]

Пусть теперь

- -арная операция и Тогда

и

для любых

Следовательно,

Подставляя в правую часть последнего равенства значения

и учитывая,что после раскрытия скобок члены,одновременно содержащие элементы и ,равны нулю , получаем в правой части равенства выражение

Так как

-идеал,то

Итак,

тогда

.

Теорема 3.5 Пусть

и -идеалы мультикольца , , -конгруэнции,определенные в теореме 3.4. и .Тогда .

Доказательство : Пусть

-конгруэнции мультикольца и . Обозначим смежные классы по и ,являющиеся идеалами мультикольца, соответственно и . Возьмем произвольные элементы , , . Тогда

Следовательно,для любой

-арной операции , любых различных получаем

Из определения 2.1. следует,что

Очевидно,что справедливо и другое аналогичное равенство определения [8] Т.к. из примера [8] следует,что

,то это означает, что .

Очевидно,что из теорем 3.4. и 3.5. и результатов раздела 2 следуют все известные свойства централизаторов подгрупп,а так же свойства централизаторов идеалов мультиколец работы [3](Лемма 2.8).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей дипломной работе решается задача взаимосвязи структуры мультиколец и универсальных алгебр, получен новый результат: идеал

тогда и только тогда централизуется идеалом , когда соответствующие этим идеалам конгруэнции централизуют друг друга в смысле Смита.

Результаты данной дипломной работы могут быть использованы при чтении спецкурса для студентов математического факультета,а так же аспирантами и научными сотрудниками,занимающимися проблемами современной алгебры.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Кон П.М. Универсальная алгебра. - М.: Мир, 1968. - 351 с.

2. Скорняков Л.А. Элементы общей алгебры. - М.Наука, 1983. - 272 с.