Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр (стр. 1 из 7)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

Учреждение образования

"Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины"

Математический факультет Кафедра алгебры и геометрии

Допущена к защите

Зав. кафедрой Шеметков Л.А.

" " 2005г.

Дипломная работа

Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр

Исполнитель

студентка группы М-51

Шутова И.Н.

Руководитель

Д., ф-м н., профессор Монахов В.С.

Гомель 2005

Содержание

Введение

1. Основные определения и используемые результаты

2. Свойство централизаторов универсальных алгебр

3. Мультикольцо

Заключение

Список использованных источников

Введение

В теории формаций конечных групп, мультиколец и многих других алгебраических систем исключительно важную роль играют такие понятия, как локальные экраны, локальные формации, основанные на определении центральных рядов. Впервые понятие централизуемости конгруэнций было введено Смитом в работе [5]. Возникает задача согласованности определения централизуемости Смита с определением в группах и мультикольцах.Такая задача была решена в указанной работе Смита [5], где было показано:нормальная подгруппа

группы централизует подгруппу тогда и только тогда, когда конгруэнции,индуцированные этими нормальными подгруппами, централизуют друг друга в смысле Смита.

Возникает следующий вопрос: справедливо ли аналогичное утверждение для мультиколец, т.е. будут ли выполнятся свойства централизуемости, изложенные в работе [3], для универсальных алгебр.

В настоящей дипломной работе решается задача взаимосвязи структуры мультиколец и универсальных алгебр, получен новый результат: идеал

тогда и только тогда централизуется идеалом , когда соответствующие этим идеалам конгруэнции централизуют друг друга в смысле Смита.

Дипломная работа включает в себя введение, три параграфа и список литературы из 10 наименований.

Перейдем к краткому изложению содержания дипломной работы.

Раздел 1 является вспомогательным и включает в себя все необходимые определения и используемые результаты.

Раздел 2 носит реферативный характер. Здесь приводятся свойства централизаторов конгруэнций, доказательства которых изложены в работах [5, 6, 7].

Раздел 3 является основным. Здесь вводится определение мультикольца, определение идеала мультикольца, определение централизатора идеала и с использованием данных определений доказывается основной результат работы (теоремы 3.4. и 3.5).

1. Основные определения и используемые результаты

Определение 1.1. [1] Универсальной алгеброй, или, короче, алгеброй называется пара

, где - непустое множество, - (возможно пустое) множество операций на .

Определение 1.2. [1] Конгруэнцией на универсальной алгебре

называется всякое отношение эквивалентности на , являющееся подалгеброй алгебры .

Определение 1.3. [1] Если

и - алгебры сигнатуры , то отображение называется гомоморфизмом, если для любой -арной операции и любых элементов выполняется равенство:

Взаимно однозначный гомоморфизм называется изоморфизмом.

Теорема 1.1. [1] Пусть

- гомоморфизм универсальных алгебр, тогда множество

является конгруэнцией на алгебре

и называется ядром гомоморфизма

Теорема 1.2. [1] Пусть

- гомоморфное наложение, тогда .

Теорема 1.3. [1] Пусть

- конгруэнции на алгебре и , тогда .

Определение 1.4. [2] Непустой абстрактный класс алгебр

сигнатуры называется многообразием, если замкнут относительно подалгебр и прямых произведений.

Многообразие

называется мальцевским, если конгруэнции любой алгебры из попарно перестановочны.

Теорема 1.4. [2] Конгруэнции любой алгебры многообразия

попарно перестановочны тогда и только тогда, когда существует термальная операция , что во всех алгебрах из справедливы тождества

Определение 1.5. [3] Пусть

и - факторы алгебры . Тогда они называются:

1) перспективными, если либо

и , либо и ;

2) проективными, если в

найдутся такие факторы , что для любого факторы и перспективны.

Теорема 1.5. [4] Между факторами произвольных двух главных рядов алгебры

, принадлежащей мальцевскому многообразию, можно установить такое взаимно однозначное соответствие, при котором соответствующие факторы проективны и централизаторы в равны.

Теорема 1.6. [2] (Лемма Цорна). Если верхний конус любой цепи частично упорядоченного множества

не пуст, то содержит максимальные элементы.

2. Свойство централизаторов конгруэнций универсальных алгебр

Под термином ``алгебра'' в дальнейшем будем понимать универсальную алгебру. Все рассматриваемые алгебры предполагаются входящими в фиксированное мальцевское многообразие

. Используются определения и обозначения из работы [1]. Дополнительно отметим, что конгруэнции произвольной алгебры обозначаются греческими буквами. Если - конгруэнция на алгебре , то - класс эквивалентности алгебры по конгруэнции , - факторалгебра алгебры по конгруэнции . Если и - конгруэнции на алгебре , , то конгруэнцию на алгебре назовем фактором на . Очевидно, что тогда и только тогда, когда . или и или - соответственно наименьший и наибольший элементы решетки конгруэнций алгебры .