Дослідження універсальних абелевих алгебр (стр. 11 из 11)
Отже,
Нехай
тоді
І
Це означає, що
й 
. У такий спосіб 
Лема доведена.
Результати, отримані в лемах 4.1, 4.2, 4.3 можна тепер сформулювати у вигляді наступної теореми.
Теорема 8 Клас всіх абелевих алгебр мальцевського різноманіття є спадкоємною формацією.
Нехай
– конгруенція на алгебрі 
. 
– підалгебра алгебри , 
і 
. Тоді введемо нове позначення 
Лема 4.4. Нехай визначена множина
. Тоді 
– конгруенція на ,
Доказ:
Тому що
, те для будь-якого елемента 
завжди найдеться такий елемент 
, що 
. Отже, 
де
.У такий спосіб
.Нехай тепер
, 
. Тоді 
де
. Отже, для кожної 
-арної операції 
одержуємо 
Тепер, оскільки
, те по лемі 3.2 
– конгруенція на .Нехай
. Тоді, мабуть, 
. Тому що 
те
Покажемо тепер, що
. Допустимо противне. Тоді найдеться така пари 
, що 
й . З визначення треба, що існує така пари 
, що 
Тому що
те застосовуючи мальцевський оператор
одержуємо 
З леми 2.2. тепер треба, що
.Отже,
. Лема доведена.Підалгебра
алгебри називається нормальної в , якщо 
є суміжним класом по деякій конгруенції алгебри .Лема 4.5. Будь-яка підалгебра абелевої алгебри є нормальною.
Доказ:
Нехай
– підалгебра абелевої алгебри . Тому що 
, те по лемі 4.4. на існує така конгруенція , що 
Лема доведена.
Висновок
Таким чином, у даній роботі ми докладно з доказами на підставі результатів робіт [3] і [4] виклали теорію централізаторів конгруенції універсальних алгебр і розглянули формаційні властивості нильпотентних алгебр, на підставі результатів
3 увели поняття абелевої алгебри. Використовуючи методи дослідження роботи [1] довели наступний основний результат: клас всіх універсальних абелевих алгебр із мальцевського різноманіття утворить спадкоємну формацію.Список літератури
Кушніров Л.О., Елементи загальної алгебри. – К., 2003
Шеметков Л.А., Скиба А.Н., Формації алгебраїчних систем. – К., 2004
Smith J.D. Mal'cev Varieties // Lect. Notes Math. 1976. V.554.
-арні системи. – К., 2003Кон П., Універсальна алгебра. – К., 2004
Ходалевич О.Д., Властивості централізаторів конгруенції універсальних алгебр . – К., 2004
Ходалевич О.Д. Формаційні властивості нильпотентних алгебр . – К., 2004