Дослідження універсальних абелевих алгебр (стр. 2 из 11)

Визначення 1.7. Нехай

– гомоморфізм алгебри в. Ядром гомоморфізму називається підмножина

У роботі [3] приводяться наступні теореми про ізоморфизмах

Теорема 1 Ядро гомоморфізму є конгруенцією.

Визначення 1.8. Якщо

– конгруенція на алгебрі й , та множина

називається класом конгруенції

. Множина всіх класів конгруенції позначають через . При цьому для кожної -арної операції вважають , а для -арної операції , де , – . алгебру, Що Вийшла, називають фактор-алгеброю алгебри по конгруенції .

Теорема Перша теорема про ізоморфизмах 2 Якщо

– гомоморфізм алгебри в , те

Теорема Друга теорема про ізоморфизмах 3 Нехай

конгруенція на алгебрі , – підалгебра алгебри . Тоді

Визначення 1.9. Якщо

, – конгруенції на алгебрі й утримується в , те позначимо

і назвемо фактором алгебри

або фактором на .

Теорема Третя теорема про ізоморфизмах 4 Нехай

– фактор на алгебрі . Тоді

Визначення 1.10. Якщо

й – конгруенції алгебри , то думають

Теорема 5 Добуток дві конгруенції є конгруенцією тоді й тільки тоді, коли вони перестановочні.

Визначення 1.11. Клас алгебраїчних систем

називається формацією, якщо виконуються наступні умови:

1) кожний гомоморфний образ кожної

-системи належить ;

2) усякий кінцевий піддекартовий добуток

-систем належить .

Визначення 1.12. Формальне вираження

, де й – слова сигнатури в рахунковому алфавіті , називається тотожністю сигнатури . Скажемо, що в алгебрі виконане тотожність , якщо після заміни букв будь-якими елементами алгебри й здійснення вхідних у слова й операцій ліворуч і праворуч виходить той самий елемент алгебри , тобто для будь-яких в алгебрі має місце рівність

Визначення 1.13. Клас

алгебр сигнатури називається різноманіттям, якщо існує множина тотожностей сигнатури таке, що алгебра сигнатури належить класу тоді й тільки тоді, коли в ній виконуються всі тотожності із множини . Різноманіття називається мальцевським, якщо воно складається з алгебр, у яких всі конгруенції перестановочні.

2. Властивості централізаторів конгруенції універсальних алгебр

Нагадаємо, що клас

алгебр сигнатури називається різноманіттям, якщо існує множина тотожностей сигнатури таке, що алгебра сигнатури належить класу тоді й тільки тоді, коли в ній виконуються всі тотожності із множини .

Різноманіття називається мальцевським, якщо воно складається з алгебр, у яких всі конгруенції перестановочні.

Усе алгебри вважаються приналежними деякому фіксованому мальцевському різноманіттю. Використовуються стандартні позначення й визначення з[2].

У даній роботі конгруенції довільної алгебри будемо позначати грецькими буквами.

Якщо

– конгруенція на алгебрі , то

суміжний клас алгебри

по конгруенції . або – діагональ алгебри .