Дослідження універсальних абелевих алгебр (стр. 3 из 11)

Для довільні конгруенції

й на алгебрі будемо позначати множину всіх конгруенції на алгебрі таких, що

тоді й тільки тоді, коли

Тому що

, та множина не порожньо.

Наступне визначення дається в роботі[2].

Визначення 2.1. Нехай

і – конгруенції на алгебрі . Тоді централізує (записується: ), якщо на існує така конгруенція , що:

1) з

завжди треба

2) для будь-якого елемента

завжди виконується

3) якщо

те

Під терміном «алгебра» надалі будемо розуміти універсальну алгебру. Всі розглянуті алгебри передбачаються вхідними у фіксоване мальцевське різноманіття

.

Наступні властивості отримані Смітом[3], сформулюємо у вигляді леми.

Лема 2.1. Нехай

. Тоді:

1) існує єдина конгруенція

, що задовольняє визначенню 2.1;

2)

;

3) якщо

те

З леми 2.1. і леми Цорна треба, що для довільної конгруенції

на алгебрі завжди існує найбільша конгруенція, що централізує . Вона називається централізатором конгруенції в і позначається .

Зокрема, якщо

, те централізатор у будемо позначати .

Лема 2.2. Нехай

, – конгруенції на алгебрі , , , . Тоді справедливі наступні твердження:

1)

;

2)

, де ;

3) якщо виконується одне з наступних відносин:

4) із

завжди треба

Доказ:

1) Очевидно, що

– конгруенція на , що задовольняє визначенню 2.1. У силу пункту 1) леми 2.1. і .

2)

– конгруенція на , що задовольняє визначенню 2.1. Значить

3) Нехай

. Тоді

Застосуємо до останнього трьох співвідношенням мальцевський оператор

такий, що

Тоді одержимо

Аналогічним образом показуються інші випадки з пункту 3).

4) Нехай

Тоді справедливі наступні співвідношення:

Отже,

де

– мальцевський оператор.

Тоді

тобто

.

Тому що

те

.

У такий спосіб

. Лема доведена.

Наступний результат виявляється корисним при доказі наступних результатів.

Лема. 2.3. Будь-яка підалгебра алгебри

, що містить діагональ , є конгруенцією на алгебрі .

Доказ:

Нехай

Тоді з

треба, що

Аналогічним образом з

одержуємо, що

Отже,

симетрично й транзитивне. Лема доведена.

Доказ наступного результату роботи [1] містить пробіл, тому доведемо його.

Лема 2.4. Нехай

. Тоді для будь-якої конгруенції на алгебрі .