Дослідження універсальних абелевих алгебр (стр. 5 из 11)

Доказ.

1) Тому що конгруенція

централізує будь-яку конгруенцію й , те

2) З першого пункту леми 2.2 треба, що

а в силу леми 2.4 одержуємо, що

Нехай

– ізоморфізм . Позначимо

По лемі 2.5

, а по визначенню

Отже,

3) Очевидно, досить показати, що для будь-яких двох конгруенції

й на алгебрі має місце рівність

Покажемо що

Позначимо

. Тоді, відповідно до визначення 2.1. на алгебрі існує така конгруенція , що виконуються наступні властивості:

а) якщо

, те

б) для будь-якого елемента

,

в) якщо

те

Побудуємо бінарне відношення

на алгебрі в такий спосіб:

тоді й тільки тоді, коли

Покажемо, що

– конгруенція на . Нехай

для

. Тоді

Тому що

– конгруенція, то для кожної -арної операції маємо

Очевидно, що

Отже,

Очевидно, що для будь-якої пари

Виходить,

Отже, по лемі 2.3,

– конгруенція на . Покажемо тепер, що задовольняє визначенню 2.1, тобто централізує . Нехай

Тоді

Тому що

, і , те . Отже, задовольняє визначенню 2.1.

Якщо

, то

виходить,

Нехай, нарешті, має місце (1) і

Тоді

Тому що

й , те , отже, . З (2) треба, що , а за умовою . Виходить, і тому

Тим самим показано, що конгруенція

задовольняє визначенню 2.1, тобто централізує .

Доведемо зворотне включення. Нехай

Тоді на алгебрі

визначена конгруенція

задовольняючому визначенню 2.1. Побудуємо бінарне відношення

на алгебрі в такий спосіб:

тоді й тільки тоді, коли

і

, .

Аналогічно, як і вище, неважко показати, що

– конгруенція на алгебрі . Помітимо, що з доведеного включення в одну сторону треба, що . Покажемо тому, що централізує .

Тому що

те

тобто

задовольняє умові 1) визначення 2.1.

Якщо

, то

отже,