Дослідження універсальних абелевих алгебр (стр. 6 из 11)

Нехай має місце (3) і

.

Тому що

те

З (4) треба, що

, отже,

тобто

На підставі леми 2.2 містимо, що

Отже,

.

А тому що

, те , тобто

4) Позначимо

. Нехай

і задовольняє визначенню 2.1.

Визначимо бінарне відношення

на в такий спосіб

тоді й тільки тоді, коли

Аналогічно, як і вище, неважко показати, що

– конгруенція, що задовольняє визначенню 2.1.

Це й означає, що

Теорема доведена.

Як наслідку, з доведеної теореми одержуємо аналогічні властивості централізаторів у групах і мультікільцях.

3. Формаційні властивості нильпотентних алгебр

Як ми вже відзначали, усе алгебри вважаються приналежними деякому фіксованому мальцевскому різноманіттю й використовуються стандартні позначення й визначення з[1].

Нагадаємо, що для

й – конгруенції на алгебрі – говорять, що централізує (записується: ), якщо на існує така конгруенція , що:

1) із

завжди треба

2) для будь-якого елемента

завжди виконується

3) якщо

, те

Очевидно, що для будь-якої конгруенції

на алгебрі конгруенція централізує . У цьому випадку .

Помітимо, що якщо

й – конгруенції на групі й , те для нормальних підгруп і групи й будь-яких елементів , мають місце наступні співвідношення:

Тоді

і в силу транзитивності

із цих співвідношень треба, що

По визначенню 2.1 одержуємо, що

Наступне визначення центральності належить Сміту .

Визначення 3.1.

, якщо існує така , що для будь-якого ,

Доведемо, що визначення 2.1. еквівалентно визначенню 3.1.

означає умову 1) з визначення 2.1. И навпаки, умова 1) означає, що .

Нехай

і – конгруенції, що задовольняють визначенню 2.1. З умови 2) треба, що для будь-якого елемента ,

Доведемо зворотне включення.

Нехай

. Тому що , те з умови 2) треба, що

У силу транзитивності

маємо

і, виходить, у силу умови 3)

. Отже

Покажемо, що з визначення 3.1. випливають умови 2) і 3) визначення 2.1. Якщо

, те

Це означає

.

Для

одержуємо, що

звідки

.

Відповідно до роботи

Визначення 3.2. Алгебра

називається нильпотентною, якщо існує такий ряд конгруенції

називаний центральним, що

Лема 3.1. Будь-яка підалгебра нильпотентної алгебри нильпотентна.

Доказ:

Нехай

– підалгебра нильпотентной алгебри . Тому що має центральний ряд

те для кожного

на алгебрі існує конгруенція задовольняючому визначенню 2.1. А саме, з

завжди треба

1) для будь-якого елемента

завжди виконується