Дослідження універсальних абелевих алгебр (стр. 9 из 11)
Визначення 3.3.
-арна група 
називається нильпотентной, якщо вона має такий нормальний ряд 
що
и
для кожного
.Тому що конгруенції на
-арних групах попарно перестановочні (дивися, наприклад, ), те це дає можливість використовувати отримані результати в дослідженні таких груп.Лема 3.6. Нехай
– -арна група. 
і 
– нормальні підгрупи групи й 
.Тоді
, де 
й 
конгруенції, індуковані відповідно підгрупами й на групі .Доказ:
Підгрупи
й індуцирують на групі конгруенції й , обумовлені в такий спосіб: 
– 
-арна операція.Визначимо на
бінарне відношення 
в такий спосіб: 
тоді й тільки тоді, коли існують такі послідовності елементів
і 
з і відповідно, що 
Покажемо, що
– підалгебра алгебри 
. Для скорочення запису будемо надалі опускати -арний оператор 
.Нехай
Тому що
, те 
Тому що
, те 
Тому в силу того, що
, 
Отже,
– підалгебра алгебри .Нехай
– нейтральна послідовність групи , а, отже, і групи 
. Тоді з визначення бінарного відношення 
треба, що 
Тим самим довело, що
– конгруенція на .Тo, що
задовольняє визначенню 2.1, очевидно. Лема доведена.Лема 3.7. Нехай
– нильпотентна 
-арна група. Тоді 
задовольняє визначенню 2.1.Доказ:
Тому що
для кожного 
, те 
індуцирує конгруенцію 
на . У такий спосіб володіє поруч конгруенції, що у силу леми 3.6 буде центральним. Лема доведена.Зокрема, для довільної бінарної групи
звідси треба, що 
нильпотентна тоді й тільки тоді, коли, 
задовольняє визначенню 3.2. У цьому випадку теорема 3.2 просто констатує той факт, що клас всіх нильпотентних груп утворить спадкоємну формацію.4. Класи абелевих алгебр і їхнї властивості
Як уже було відзначено в параграфі 3, алгебра
називається нильпотентною, якщо існує такий ряд конгруенцій 
називаний центральним, що
для кожного
.Визначення 4.1. У випадку, якщо для нильпотентной алгебри
в центральному ряді 
, тобто якщо для неї 
, то алгебра називається, абелевої.Лема 4.1. Будь-яка підалгебра абелевої алгебри абелева.
Доказ:
Нехай
підалгебра абелевої алгебри .Тому що по визначенню
, то на 
існує така конгруенція , що:1) з
завжди треба
2) для будь-якого елемента
завжди виконується
3) якщо
те
