Некоторые примеры некоммутативных алгебр (стр. 1 из 3)

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего

профессионального образования

«Московский педагогический государственный университет»

математический факультет

кафедра Алгебры.

РЕФЕРАТ

По теме «Некоторые примеры некоммутативных алгебр».

Выполнила:

Студентка

3 группы 6 курса

Браницкая Нина Анатольевна

Научный руководитель:

Ширшова Елена Евгеньевна.

Москва, 2010

Содержание:

Глава 1. Основные понятия и определения...................................................................................................................... 4

Глава 2. Примеры некоммутативных алгебр............................................................................................................................... 3

1. Множество векторов трехмерного векторного пространства над полем

3

a. Свойства векторного произведения.................................................................................................. 4

b. Выражение векторного произведения через координаты.................................................................................................... 4

2. Множество квадратных матриц

над полем 5

3. Тело кватернионов К над полем

5

a. Основные свойства.......................................................................................................... 6

4. Алгебра Грассмана над полем

9

a. Следствия..................................................................................................... 10

5. Список литературы............................................................................................................ 11

1. Основные понятия и определения.

Определение: Пусть F – поле, V - некоторое множество, на котором заданы следующие операции:

1. операция сложения:

2. операция умножения:

Множество V с заданными на нем операциями сложения и умножения элементов из V на элементы из F называется векторным (линейным) пространством над полем F, если выполняются следующие условия:

- абелева группа;

Элементы множества V называются векторами, а элементы поля F – скалярами.

Определение: Векторное пространство А над полем Р называется алгеброй, если выполняются следующие условия:

Определение (И.Л. Бухбиндер): Линейное пространство А называется (линейной) алгеброй, если в нем определена бинарная операция умножения элементов, то есть любым двум элементам

сопоставляется единственный элемент, обозначаемый : , при этом бинарная операция удовлетворяет следующему свойству:

.

Определение: Алгебра

называется ассоциативной, если .

Определение: Алгебра

называется коммутативной, если .

Определение: Если в алгебре

существует элемент , обладающий свойством единицы, то есть , то данная алгебра называется алгеброй с единицей, а элемент - единицей алгебры.

2. Примеры некоммутативных алгебр.

1. Множество векторов трехмерного векторного пространства над полем

, в котором роль бинарной операции умножения играет векторное произведение векторов.

Определение: Векторным произведением вектора

на вектор называется вектор , который удовлетворяет следующим условиям:

1.

;

2. имеет длину, численно равную площади параллелограмма, построенного на векторах

и , как на сторонах, т.е. , где ;

3. векторы

, и образуют правую тройку векторов.

Обозначение:

, где .

Свойства векторного произведения.

1. При перестановки сомножителей векторное произведение меняет знак, то есть

Доказательство: Векторы

и коллинеарные, имеют одинаковые модули (площадь параллелограмма остается неизменной), но противоположно направлены (тройки , , и , , противоположной ориентации). Следовательно, .

2. Векторное произведение обладает ассоциативным законом относительно операции умножения на скаляр, то есть

.

Доказательство: Пусть

. Вектор перпендикулярен векторам и . Вектор также перпендикулярен векторам и (векторы , лежат в одной плоскости). Значит, векторы и коллинеарные, сонаправленые ( ), имеют одинаковую длину ( )

Поэтому

. Аналогично доказывается при .

3. Два ненулевых вектора

и

коллинеарные тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору, то есть

.