Случайные события (стр. 11 из 20)

18.2. На новом пространстве элементарных событий

- алгебра событий

определяется, или, как говорят, индуцируется

- алгеброй событий

, а именно

состоит из событий вида

, где

. Проверим, что

действительно

- алгебра. Пусть

- события из

, где

. Необходимо показать, что их объединения, пересечения и дополнения также принадлежат

.

Рассмотрим объединение

. (18.1)

Операции объединения и пересечения взаимно дистрибутивны, в частности, пересечение дистрибутивно относительно объединения:

, (18.2)

где

- события. Пусть

,

,

, тогда из (18.1) следует

. (18.3)

Поскольку

,

, а

-

- алгебра, то и объединения

. Поэтому

, а согласно (18.3)

. Аналогично

. (18.4)

Следовательно,

. Проверить факт

не составляет труда, действительно,

. (18.5)

Наконец, рассмотрим дополнение

, (18.6)

откуда следует

. Таким образом,

является

- алгеброй событий вида

.

18.3. На

- алгебре

вводится вероятность

,

. (18.7)

Отметим, что если положить

, то

,

,

. Поэтому в (18.7) знаменатель

выполняет нормировку на новое пространство элементарных событий

.

Теперь тройка

является новым вероятностным пространством, построенным в связи с поставленной задачей, в которой событие

обычно рассматривается как результат опыта. Причем вероятность

на

(18.7) можно рассматривать и на

, при этом

также является вероятностью и обозначается

. Поэтому (18.7) можно представить:

,

. (18.8)

Вероятность

как функция на

называется условной вероятностью события

при условии, что событие

произошло.

18.4. Отметим, что свойства условной вероятности аналогичны соответствующим свойствам безусловной вероятности. В частности, имеют место соотношения:

, (18.9)

, (18.10)

Для несовместных событий

, (18.11)

, (18.12)

где событие под знаком вероятности можно преобразовать:

. Поэтому в (18.12)

. (18.13)

Подставим (18.13) в (18.12), тогда