
. (18.14)
Это соотношение полностью аналогично формуле сложения безусловных вероятностей.
Имеется большое число задач, в которых вычисление вероятностей выполняется с помощью комбинаторных формул. Рассмотрим основные комбинаторные формулы.
19.1. Перестановки. Пусть имеется

различных объектов

. Эти объекты перенумерованы, и следовательно, образуют последовательность (или упорядоченное множество). Поменяем местами два объекта

и

. Тогда получим новую последовательность

. Затем можно в исходной последовательности на первое место поставить

, а объект

соответственно на третье и т.д., получая каждый раз новую последовательность из

объектов. Разные последовательности отличаются только порядком следования объектов, поэтому в общем случае последовательность, полученная при перестановке объектов, имеет вид:

.
Возникает вопрос, чему равно число разных последовательностей

? (Или просто чему равно число перестановок?) Ответ может быть получен путем следующих рассуждений. Объект

можно выбрать

способами, то есть в качестве

можно взять любой объект среди

. Если

выбран, то

можно выбрать

способом, поскольку в исходной последовательности осталось

объектов, каждый из которых может быть выбран в качестве второго объекта

новой последовательности и т.д. Всего, таким образом, существует

способов образовать последовательность

, выбирая объекты из совокупности

. Число

называется числом перестановок

разных объектов.
19.2. Размещения. Усложним условие задачи. Пусть имеется

различных объектов

. Чему равно число разных последовательностей вида

,

, полученных при извлечении

объектов из исходной последовательности

разных объектов?
Аналогично как и в первой задаче, в данном случае объект

можно выбрать

способами. Если

выбран, то объект

можно выбрать

способом и т.д. Наконец, объект

можно выбрать

способом. Таким образом, всего существует

(19.1)
способов образовать последовательность из

объектов, выбирая объекты из совокупности

. Иначе эту задачу можно сформулировать следующим образом: сколько существует способов размещения

из

различных объектов по

местам. Число

(19.1) называется числом размещений из

по

. Отметим, что при

из (19.1) следует

.
19.3. Сочетания. Пусть имеется

различных объектов

, из которых выбирается

объектов

, образующих множество

. Сколькими способами можно образовать множество

?
В отличие от размещений результатом извлечений объектов из совокупности

является не последовательность, а множество

. В последовательности важен порядок расположения элементов, так две последовательности

и

— разные, они различаются расположением элементов

и

. Если рассматривать два множества

и

, то эти множества одинаковые:

, поскольку порядок расположения элементов

на множестве не имеет значения. Важен только вопрос: содержится элемент

в данном множестве или нет? Таким образом, данная задача отличается от задачи на число размещений тем, что извлекаемые

объектов образуют множество

, на котором не важен порядок расположения объектов, а важен только факт наличия или отсутствия элемента

в множестве

.
Сочетанием из

элементов по

называется любое подмножество из

элементов множества, содержащего

элементов. Число всех сочетаний обозначается записью

. Наша задача сводится к нахождению числа

. Если, извлекая объекты из совокупности

, строить из них последовательность

, то есть учитывая расположение объектов, то число разных последовательностей равно числу

- размещений из

по

. В данной задаче интерес представляет множество

, для которого разный порядок расположения

заданных элементов

дает одно и то же множество. Число перестановок

разных элементов равно

. Поэтому число размещений

в

больше числа сочетаний

. Из (19.1) следует