Случайные события (стр. 13 из 20)

(19.2)

19.4. Перестановки с повторениями. Имеется

объектов, но не все эти объекты разные, среди них имеются одинаковые объекты или неразличимые. Пусть среди объектов объектов 1-го типа, объектов 2-го типа, …, объектов -го типа. Других объектов нет, так что

. (19.3)

Чему равно число

разных последовательностей из объектов, которые можно образовать, извлекая их из совокупности в объектов?

Если все

объектов были бы разными, например пронумерованы от 1 до , то число разных последовательностей было бы равно . Поскольку имеются неразличимых объектов 1-го типа, то перестановка двух объектов 1-го типа между собой не дает новой последовательности. Это следует учесть. Число перестановок между объектами 1-го типа равно Поэтому за счет неразличимости перестановок между объектами 1-го типа, общее число разных последовательностей уменьшается в раз. Аналогично следует учесть неразличимые перестановки между объектами 2-го типа, их и т.д. Таким образом, число разных перестановок совокупности из объектов, среди которых объектов 1-го типа, объектов 2-ого типа, …, объектов -го типа, равно

. (19.4)

Из (19.4) следует при

, то есть при условии что все объекты разные,

(19.5)

- число перестановок

разных объектов (или без повторения).

Из (19.4) можно получить другой частный случай при

, , :

, (19.6)

что позволяет интерпретировать

как число перестановок объектов, среди которых объектов 1-го типа и объектов 2-го типа.

19.5. Размещения с повторениями. Пусть имеется

разных объектов , из которых выбирается объект, фиксируется и возвращается обратно. Таким образом извлекается объектов

. (19.7)

Последовательность (19.7) называется размещением с повторениями из

(элементов) по (местам). Таким образом, в последовательности (19.7) могут встречаться одинаковые объекты, в отличие от размещения (без повторения), когда объекты извлекаются из исходной совокупности без возвращения.

Сколькими способами может быть образована последовательность (19.7) при извлечении с возвращением? Поскольку первый объект

может быть выбран способами, второй объект -также способами и т.д., то существует

(19.8)

размещений из

по с повторениями.

Системы частиц в статистической физике

20.1. Система Максвелла-Больцмана. Характеризуется как система

разных частиц, каждая из которых может находиться в одной из ячеек (состояний) вне зависимости от того, где при этом находятся остальные частицы. Чему равно число различных размещений частиц по ячейкам в этой системе? Первую частицу можем поместить в любую из ячеек, то есть способами. Вторую частицу также можно поместить в любую из ячеек и т.д. Таким образом, имеется всего разных размещений частиц по ячейкам. Если при этом все размещения (состояния системы) считаются равновероятными, то говорят, что система частиц подчиняется статистике Максвелла-Больцмана. Вероятность каждого состояния равна .