Случайные события (стр. 15 из 20)

, (21.1)

то есть ее первые

элементов - это события и последующие элементов - события . Другими словами, в первых опытах наступает успех и в последующих опытах - неуспех. По условию исходы в последовательности (21.1) - это независимые события, поэтому по формуле умножения вероятность появления последовательности вида (21.1) равна

. (21.2)

При подсчете вероятности

следует учесть все возможные последовательности, состоящие из событий и событий . Вероятность появления любой их этих последовательностей одинакова и равна . Кроме этого последовательности являются несовместными событиями, поскольку в каждой серии опытов реализуется только одна из этих последовательностей. Поэтому по формуле сложения вероятностей:

, (21.3)

где суммирование ведется по всем последовательностям, содержащим

событий вида и событий . Число этих последовательностей равно , поскольку может быть определено как число различных перестановок элементов последовательности (21.1), содержащей элементов 1-го типа (событий ) и элементов 2-го типа (событий ) по формуле (19.6). Таким образом, из (21.3) следует

. (21.4)

Это соотношение называется формулой Бернулли или биномиальным распределением вероятностей. Последнее связано с тем, что

равно общему члену бинома .

Рассмотрим пример. Бросается монета. Какова вероятность выпадения 0,1,2,3,4 раз герба при 4 бросаниях? Здесь вероятность успеха (появления герба) в одном опыте равна

, , По формуле (21.4) вычисляются вероятности , , , , . На рис. 21.1 представлен график зависимости .

Рис. 21.1. График зависимости вероятности от числа успехов в опыте с бросанием монеты.

21.2. Вычислим вероятность

того, что в серии из независимых опытов число успехов будет лежать в интервале . В соответствии с формулой сложения вероятностей

. (21.5)

Определим, какова вероятность появления хотя бы одного успеха в серии из

опытов. Очевидно, речь идет о вероятности того, что число успехов будет лежать в интервале . Таким образом, искомая вероятность определится формулой (21.5) при и:

. (21.6)

Это выражение можно преобразовать, если учесть равенство

. (21.7)

Левая часть (21.7) согласно формуле сложения вероятностей представляет собой вероятность события, состоящего в том, что число успехов

принимает значение из интервала . Это событие является достоверным, поэтому его вероятность равна единице. Теперь (21.6) можно представить в виде:

. (21.8)

Наивероятнейшее число в распределении Бернулли

Число

, для которого (21.4) достигает максимального значения, называется наивероятнейшим числом в распределении Бернулли. Очевидно, наивероятнейшее число определяется двумя условиями:

, (22.1)

. (22.2)

Для нахождения числа

решим систему двух неравенств (22.1), (22.2) относительно . Подставим в первое неравенство формулу (21.4), тогда

. (22.3)

После сокращения в левой части неравенство принимает вид:

откуда

или

. (22.4)

Аналогично решим второе неравенство:

. (22.5)

После сокращения

откуда

или . Что сводится к выражению:

. (22.6)

Таким образом, наивероятнейшее число

в распределении Бернулли определяется двумя условиями (22.4) и (22.6):

. (22.7)

По условию задачи число

– целое по условию задачи и лежит в единичном интервале (22.7). Поэтому решение (22.7) может быть единственным, если – дробное число. Это реализуется в примере с бросанием монеты, где , , тогда . В соответствии с (22.7) , поэтому существует единственное наивероятнейшее число , что иллюстрирует график, представленный на рис.21.1.