Случайные события (стр. 16 из 20)

Возможна иная ситуация, если

– целое число. Тогда единичный интервал (22.7) содержит два целых числа, следовательно, имеется два наивероятнейших числа в распределении Бернулли. Эту ситуацию можно рассмотреть также на примере с бросанием монеты. Пусть , тогда , следовательно (22.7) имеет вид: , то есть имеется два наивероятнейших числа и . При этом и график имеет плоскую вершину.

Полиномиальное распределение

Рассмотрим обобщение схемы независимых испытаний, состоящее в том, что исходом каждого опыта является одно из

несовместных событий , образующих полную группу. Пусть вероятность , , тогда

. (23.1)

Определим вероятность

события , состоящего в том, что в серии из независимых опытов событие произойдет раз, ..., событие произойдет раз. Поскольку исходом каждого опыта является одно и только одно из событий , то справедливо равенство:

. (23.2)

Рассмотрим следующую последовательность

исходов в серии из опытов. Пусть в первых опытах исходом было событие , в последующих опытах исходом было событие , ... , в последних опытах исходом было событие . Вероятность появления этой последовательности определяется по формуле умножения:

. (23.3)

Если в последовательности

поменять местами первый исход и исход , то получим новую последовательность , которая также состоит из событий вида , ... , событий . Вероятность появления этой последовательности и определяется также формулой (23.3). В общем, каждая последовательность , полученная из путем перестановок между событиями , появляется с одинаковой вероятностью . Событие означает, что происходит событие или , ... . Таким образом,

. (23.4)

Теперь вероятность

по формуле сложения вероятностей для несовместных событий определяется соотношением:

, (23.5)

где суммирование по

ведется по всем последовательностям . Число таких последовательностей - это число перестановок с повторениями из по :

. (23.6)

Поэтому из (23.5) следует

. (23.7)

Эта формула называется полиномиальным распределением вероятности. Такое название объясняется тем, что вероятность (23.7) является общим членом полинома

Отметим, что при

, , , , из формулы (23.7) следует распределение Бернулли: .

Рассмотрим пример вычисления вероятности выпадения чисел

при шести бросаниях игральной кости. Здесь имеется последовательность из шести опытов, в каждом опыте возможно шесть исходов. Таким образом, вероятность вычисления по формуле (23.7) при , , :

Этот же результат может быть получен с использованием формулы умножения вероятностей (11.1), действительно, здесь первый множитель

- это вероятность того, что в первом опыте исходом будет любое число из шести возможных (достоверное событие). Второй множитель - это условная вероятность того, что при втором бросании появится любое число кроме того, что выпало в первом опыте и т.д.