Случайные события (стр. 19 из 20)
Введем обозначения:
, 
(27.5) Из (22.7) при
следует, что наивероятнейшее число 
, поэтому числитель величины 
- это уклонение числа успехов 
от наивероятнейшего числа 
. Из (27.5) и условий (27.1) следует
, (27.6) а также
. (27.7) Условия (27.6) и (27.7) приводят к ограничению на скорость роста второго слагаемого
в выражениях (27.6), (27.7), а именно при большом 
, 
, (27.8) то есть величина
пропорциональна 
, где число 
. Скорость ростане может быть большей, то есть параметр 
, характеризующий скорость роста не может принимать значения 
. В противном случае нарушаются условия (27.6), (27.7). действительно, при 
величина растет с увеличением быстрее, чем первое слагаемое в (27.6) и в (27.7), при этом условие (27.6) выполняется: 
, а условие (27.7) нарушается, поскольку число 
становится отрицательным с ростом . Рассмотрим в (27.4) выражение под корнем, в котором числа
, представим в виде (27.6), (27.7), тогда
(27.9) При большом
вторые слагаемые в скобках (27.9) является малыми по сравнению с первыми, поскольку выполняется условие (27.8). Поэтому при 
из (27.9) следует
. (27.10) Рассмотрим два последних множителя выражения (27.4), причем удобно рассматривать его логарифм:
. (27.11) Подставим сюда выражения для
и (27.6) и (27.7). Тогда
. (27.12) При малом
справедливо разложение в ряд:
, (27.13) где
- величина, малая по сравнению с 
. Используем разложение с точностью до в соотношении (27.12). Тогда
. (27.14)
Введем для краткости обозначение
, тогда правая часть (27.14) преобразуется следующим образом:
. (27.15) Здесь второе слагаемое зависит от
через 
. Согласно (27.8) 
, 
, поэтому
. (27.16) При
и выражение 
, поэтому второе слагаемое в (27.15) является малой величиной по сравнению с первым, которое равно 
. Таким образом, (27.14) при 
имеет вид
. (27.17) Полученные результаты (27.10) и (27.17) подставим в (27.4), тогда
, 
, 
. (27.18) Формула (27.18) называется локальной асимптотикой Муавра-Лапласа. Этот же результат может быть сформулирован как следующая локальная теорема Муавра-Лапласа.
Если вероятность успеха
в одном опыте удовлетворяет условию 
, тогда вероятность 
того, что в последовательности 
независимых испытаний успех наступит раз удовлетворяет условию:
. (27.19) Интегральная теорема Муавра-Лапласа
Вероятность
того, что в последовательности независимых испытаний число успехов находится в интервале 
определяется выражением
. (28.1) Получим асимптотику выражения (28.1) при тех же условиях, которые были определены для локальной теоремы Муавра-Лапласа. При этом
определяется формулой (27.18). Подставим (27.18) в (28.1), тогда
(28.2) где
. (28.3) Поскольку
, то 
при 
. Пусть
, 
. (28.4) Тогда при
сумма в выражении (28.2) переходит в интеграл:
. (28.5) Этот результат носит название интегральная теорема Муавра-Лапласа. Соотношение (28.5) можно представить через функцию Лапласа:
. (28.6) Практическое применение интегральной теоремы основано на приближенном равенстве: